2. Сферический треугольник и его свойства. Теоремы синусов и косинусов.

Сферический треугольник – фигура АВС на поверхности сферы, образованная дугами трех больших кругов (рис.1.14)

Углами сферического треугольника называются двугранные углы между плоскостями больших кругов, образующих стороны сферического треугольника.

Обычно используются треугольники, углы и стороны которых меньше 180°. Для таких сферических треугольников сумма углов всегда больше 180°, но меньше 540°, а сумма сторон всегда меньше 360°. Разность между суммой трех углов сферического треугольника и 180° называется сферическим избытком σ, т.е.

σ=∟А+∟В+∟С-180°

cos а = cos b cos с + sin b sin с cos А (1.32), т. е. (1-32)

косинус стороны сферического треугольника равен произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними.

sina cosВ = sinс cosb — cosс sinb cosА,т. е. (1-33)

произведение синуса стороны на косинус прилежащего угла равно произве­дению синуса другой стороны, ограничивающей прилежащий угол, на косинус третьей стороны минус произведение косинуса стороны, ограничивающей прилежащий угол, на синус третьей стороны и на косинус угла, противолежа­щего первой стороне.

Формула (1.33) называется формулой пяти элементов.

, или

, т.е.

синусы сторон сферического треугольника пропорциональны синусам проти­волежащих им углов, или отношение синуса стороны сферического треуголь­ника к синусу противолежащего угла есть величина постоянная.

Три выведенных соотношения (1.32), (1.33), (1.34) между сторонами и углами сферического треугольника являются основными; из них можно получить много других формул сферической тригонометрии.