10. Закон Ома в дифференциальной и интегральной формах
Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока, текущего по однородному металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения U на проводнике:
I=
Однородным называется проводник, в котором не действуют сторонние силы.
В этом случае, как мы видели, напряжение U совпадает с разностью потенциалов
—
, поддерживаемой на концах проводника. Величина R называется электрическим сопротивлением проводника. Единицей сопротивления служит ом, равный сопротивлению такого проводника, в котором при напряжении в 1 в течет ток силой в 1 а. Величина сопротивления зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он сделан. Для однородного цилиндрического проводника
R=
где l— длина проводника, S — площадь его поперечного сечения, 
— зависящий от свойств материала коэффициент, называемый удельным электрическим сопротивлением вещества. Если l=1 и S= 1, то R численно равно . В СИ измеряется в омо-метрах (ом-м)'. На практике часто характеризуют материал сопротивлением при l = 1 м и S = 1 мм2, т. е. выражают в (ом?мм2)/м.
Закон Ома можно записать в дифференциальной форме. Выделим мысленно в окрестности некоторой точки внутри проводника элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными вектору плотности тока j в данной точке.
Через поперечное сечение цилиндра течет ток силойjdS. Напряжение, приложенное к цилиндру, равно Edl где Е — напряженность поля в данном месте. Наконец, сопротивление цилиндра, согласно формуле равно 
. Подставим эти значения в формулу тогда
jdS=
?Edt
Носители заряда в каждой точке движутся в направлении вектора Е. Поэтому направления j и Е совпадают. Таким образом, можно написать
j=
где 
— величина, называемая коэффициентом электропроводности или просто проводимостью материала. Формула выражает закон Ома в дифференциальной форме.
Для любой точки внутри проводника напряженность 
результирующего поля равна сумме напряженности поля кулоновских сил и поля сторонних сил 
. Подставляя в формулу, получим
Умножим скалярно обе части на вектор 
, численно равный элементу 
длины проводника и направленный по касательной к проводнику в ту же сторону, что и вектор плотности тока 
Так как скалярное произведение совпадающих по направлению векторов и , равно произведению их модулей, то это равенство можно переписать в виде
С учетом 
Интегрируя по длине проводника 
от сечения 1 до некоторого сечения 2 и учитывая, что сила тока во всех сечениях проводника одинакова, получаем
 |
Интеграл 
численно равен работе, совершаемой кулоновскими силами при перенесении единичного положительного заряда с точки 1 в точку 2. В электростатике было показано, что
Таким образом, 
где 
и 
- значение потенциала в т.1 и т.2.
Интеграл, содержащий вектор 
напряженности поля, сторонних сил, представляет собой эдс 
, действующей на участке 1-2
 |
Интеграл
 |
равен сопротивлению участка цепи 1-2.
Подставляя окончательно получим
 |
Последнее уравнение выражает собой закон Ома в интегральной форме для участка цепи, содержащего эдс и формулируется следующим образом: падение напряжения на участке цепи равно сумме падений электрического потенциала на этом участке и эдс всех источников электрической энергии, включённых на участке.