1. Колебания в холодной плазме

Холодной называется плазма, у которой газовое давление мало по сравнению с магнитным:

.

Если это условие выполнено, то при рассмотрении большинства вопросов, относящихся к колебаниям плазмы, можно полностью пренебречь тепловым движением и рассматривать только усредненное движение под действием внешних полей. Будем пренебрегать также столкновениями и всеми процессами, приводящими к затуханию колебаний, то есть к диссипации энергии.

Теория колебаний холодной плазмы заключается в совместном рассмотрении уравнений движения проводящей среды и уравнений Максвелла.

Применяя операцию к обоим частям уравнения:

,

получим:

.

Подстановка уравнения:

даёт:

.

Раскрывая операцию по формулам векторного анализа, приходим к результату:

.

В плоской волне любая величина зависит от координат и времени как:

,

где – комплексная амплитуда.

Фазовая скорость волны , групповая скорость . В анизотропных средах частоты связаны не только с величиной, но и с направлением волнового вектора, то есть дисперсионное уравнение имеет вид:

,

где , и – составляющие волнового вектора.

В линейном приближении уравнения для комплексных амплитуд имеют такой же вид, что и для величин . Для плоской волны имеем:

, ;

, .

Тогда можно записать:

. (1)

При рассмотрении линейных колебаний лагранжеву производную можно заменить частной и в произведении пренебречь собственным полем волны , то есть заменить на постоянное внешнее магнитное поле . Уравнение движения плазмы принимает вид с учетом сделанных допущений:

.

Обобщенный закон Ома запишем в виде:

. (3)

Система уравнений (2) и (3) совпадает с системой уравнений магнитной гидродинамики для идеального проводника, из которых выброшены силы давления. В соответствии с этим приближение холодной плазмы называют иногда гидродинамическим приближением.

Введём характерные частоты:

- плазменную частоту ,

- циклотронные частоты .

Если не пренебрегать массой электрона по сравнению с массой иона, то плазменная частота определяется так:

,

где , .

Учитывая условие электронейтральности , получим:

.

Эта величина настолько мало отличается от электронной плазменной частоты, что в дальнейшем не будем их различать. Тогда:

, (4)

где – единичный вектор в направлении магнитного поля.

Рассмотрение и описание всех типов колебаний в холодной плазме сводится к совместному решению системы уравнений (1), (2) и (4). При выводе этой системы сделаны следующие допущения:

1) плазму считаем полностью ионизованной;

2) амплитуды всех переменных величин в волне полагаются малыми, чтобы можно было пренебречь всеми квадратичными членами (линейное приближение);

3) тепловое (газовое) давление считается малым по сравнению с магнитным давлением (приближение холодной плазмы);

4) пренебрегаем всеми диссипативными процессами (приближение идеальной плазмы;

5) отбрасываются члены порядка отношения массы электрона к массе иона. Это допустимо, если приближение проведено аккуратно в математическом отношении.