66. Хвильова функція і рівняння Шредінгера

Встановлення хвильових властивостей мікрочастинок свідчило, що класична механіка не може дати вірного опису поведінки подібних частинок. Нова механіка, створена Шредінгером, Гейзенбергом, Діраком та інш., отримала назву квантової механіки.

Основним рівнянням квантової механіки є рівняння Шредінгера. Його не можна вивести з раніш відомих співвідношень. Воно є вихідним припущенням, доказом якого є те, що всі наслідки з нього підтверджуються експериментально.

Стан мікрочастинки описується в квант. механіці хвильовою функцією y. Квадрат модуля хвильової функції для довільної точки простору, помножений на елемент об’єму dV, що містить цю точку, визначає ймовірність dP того, що частинка буде виявлена в межах об’єму dV:

dP = ½y½2dV = y?y*dV (1)

Отже, фізичний зміст функції y полягає в тому, що квадрат її модуля дає густину ймовірності знаходження частинки у відповідному місці простору.

Хвильова функція є функцією координат і часу і може бути знайдена шляхом розв’язку р-я

(2) - часове рівняння Шредінгера

і – уявна одиниця, h – постійна Планка, m – маса частинки, , U – потенціальна енергія частинки. Як слідує з рівняння (1), вид хвильової функції y визначається потенціальною енергією U, тобто характером тих сил, що діють на частинку. U є функція координат і часу. Для стаціонарного (такого, що не залежить від часу) силового поля U не залежить явно від часу. В цьому випадку отримаємо

(3) - р-я Шредінгера для стаціонарних станів.

На хвильову функцію накладаються такі три умови:

вона повинна бути однозначною

скінченною

неперервною у всій області зміни змінних x, y, z.

З р-я (2, 3) і умов (1-3) безпосередньо слідують правила квантування енергії.

В р-я (2), (3) в якості параметра входить повна енергія частинки Е. В теорії диференц. рівнянь доводиться, що р-я такого виду мають розв’язки, які задовольняють умовам 1-3 лише при певних значеннях Е. Ці певні значення наз. власними значеннями параметра, а відповідні їм розв’язки рівнянь – власними функціями.

Також для хвильової функції повинна виконуватися умова нормування:

(4)