Распределение Максвелла по скоростям. Наиболее вероятная среднеквадратичная скорость движения молекулы.

Так как в состоянии равновесия давление во всех частях системы одинаково, то естественно допустить, что в газе отсутствуют какие-либо направленные движения молекул, то есть движения молекул предельно неупорядочены.

- скорость молекул и ее проекции являются непрерывными величинами, так как ни одно значение скорости не имеет преимущества перед другими значениями;

- при тепловом равновесии в газе все направления скоростей молекул равновероятны. В противном случае это привело бы к образованию направленных макроскопических потоков молекул и возникновению перепадов давления.

Так как скорость и ее проекции являются непрерывными величинами, вводится понятие функции плотности распределения f(v_x), f(v_y), f(v_z) по компонентам скоростей молекул (v_x, v_y, v_z) и по модулю скорости f(v)

.

Выражения для функций плотности вероятности по компонентам скоростей v_x, v_y, v_z имеют вид

;

.

График функции f(v_x)изображен на рис. 1.

Функция имеет максимум при v_x = 0, симметрична относительно его и экспоненциально стремится к нулю при v_x ® ± ¥. Отложим по оси абсцисс элементарные скоростные интервалы dv_x около значений v_x, равных 0; ± v_x¢; ± v_x¢¢. Произведение f(v_x) dv_x равно доле молекул, компонента скорости v_x которых лежит в интервале около указанных значений. С другой стороны, произведение f(v_x) dv_x на графике равно заштрихованным площадкам около выбранных скоростей.

Из сопоставления размеров заштрихованных площадей следует:

- относительное большинство молекул имеет проекцию скорости вдоль оси v_x, близкую к нулю;

- доли молекул, имеющих одинаковые значения v_x, но летящие в противоположных направлениях (разные знаки +v_x и -v_x), одинаковы;

- число молекул, имеющих большие значения компонент скоростей, мало (мала площадь около ± v_x¢¢).

Аналогичный анализ можно провести и для f(v_y), f(v_z).

График функции f(v) изображен на рис. 2.

Функция равна 0 при v = 0; стремится к нулю при v ® ¥, при v = v_b имеет максимум. Значение скорости v_b, при которой функция плотности распределения достигает максимума, называется наиболее вероятной скоростью. Ее значение находится из условия экстремума.

.

Произведение f(v) dv дает долю молекул, скорости которых лежат в выбранном интервале dv. На графике это произведение равно заштрихованным площадкам. Как видно из графика, максимальная площадка соответствует скорости v_b. С увеличением скорости доля молекул, обладающих большими скоростями, уменьшается (малая площадь при v₃). Зная аналитический вид f(v), можно найти

;

.

Распределение молекул по скоростям зависит от температуры.

Закон Максвелла распределения молекул газа по скоростям описывает поведение очень большого числа частиц, то есть является статистическим законом. Распределение молекул по скоростям устанавливается посредством их столкновений. При столкновениях изменяются скорости отдельных молекул, но закон распределения по скоростям не изменяется.

Характерными параметрами распределения Максвелла являются наиболее вероятная скорость υ_в, соответствующая максимуму кривой распределения, и среднеквадратичная скорость где – среднее значение квадрата скорости.

31.