Особенности исследования гибридных систем

Поскольку гибридные системы можно рассматривать как обобщение динамических систем (ДС), особенности компьютерного моделирования ДС переносятся и на ГС. При численном анализе задачи Коши необходимо обеспечить требуемую точность решения при наименьших затратах вычислительных ресурсов - памяти и числу выполняемых операций.

68 ресурсах. Современный уровень развития вычислительной техники позволяет достаточно легко решить эти проблемы, однако зачастую решаемые задачи обладают повышенной жёсткостью и высокой размерностью, что требует разработки соответствующих алгоритмов численного интегрирования. Для гибридных систем к описанным выше проблемам добавляются задачи спецификации совокупного непрерывно-дискретного поведения, корректного обнаружения событий и др.

Жёсткость

В большинстве случаев системы вида (1.4), (1.5) являются жёсткими, то есть на некотором интервале решениявыполняются

соотношения [5]:

где- собственные числа матрицы Якоби;

N- размерность системы.

Класс задач, называемых жёсткими [57, 70], весьма разнообразен. Решение таких задач вызывает определённые сложности. В жёстких задачах длина интервала интегрирования в целом связана с медленно меняющимся решением, на котором существуют быстро затухающие возмущения. Весь интервал можно условно разбить на несколько участков. Для некоторых из них, называемых переходными, характерны большие производные решения, в то время как их длина мала.

Трудности решения жёстких систем классическими явными методами связаны с участками установления. Дело в том, что поскольку на переходном участке производные от решения велики, шаг интегрирования из условий

69 точности выбирается небольшим, и на данном участке выполняется неравенство:

где h- шаг интегрирования;

L(t)- классическая константа Липшица;

C- относительно небольшая постоянная величина.

На участке установления, поскольку производные от решения невелики, шаг интегрирования по точности может быть достаточно большим. В этом случае характерно выполнение неравенства:

Наличие большой классической константы Липшица является важным свойством жёстких задач. Поэтому применение классических явных методов, для которых условие (2.3) необходимо для устойчивости, практически невозможно на современных ЭВМ [57].

Таким образом, под жёсткими будем понимать такие задачи, которые являются жёсткими в смысле (2.2) и удовлетворяют условиям (2.3) и (2.4) на интервале интегрирования. На практике любая физическая система, моделируемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений и имеющая компоненты с сильно различающимися временными константами, приводит [4, 57] к жёсткой задаче.

Некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения не решаются стандартными явными методами. Чтобы понять, почему это происходит, необходимо рассмотреть структуру решения дифференциального уравнения [57]. Постоянная времени дифференциального уравнения первого порядка - это промежуток времени, по истечении которого величина нестационарной части решения убывает в e^_1раз.

задача называется жёсткой и ее практически невозможно решить обычными методами. В таких случаях шаг должен быть достаточно мал, чтобы можно было учитывать изменение наиболее быстро изменяющихся членов уравнения даже после того, как их вклад станет практически незаметным. Если не удается сохранить достаточно малую величину шага, то решение становится неустойчивым. Хотя трудности, связанные с обеспечением устойчивости решения жёстких задач обычными методами, можно временно обойти, уменьшив величину шага, такой подход имеет два недостатка. Во-первых, если величина шага очень мала по сравнению с интервалом, для которого находится решение, то для получения решения потребуется очень много времени. Во- вторых, накапливающиеся в процессе длительных вычислений погрешности округления могут привести к получению бессмысленного результата, связанного [2] с численной (вычислительной) неустойчивостью.

Поскольку жёсткие системы дифференциальных уравнений встречаются при решении важных задач управления, расчета электрических сетей, химических реакций и пр., в последнее время много внимания уделяется разработке эффективных методов решения таких задач [53, 56, 57, 70, 88, 96], например, алгоритмов переменного шага с контролем устойчивости.

При анализе переходных процессов в электроэнергетических системах жесткие режимы возникают [48] вследствие наличия как быстрых электромагнитных возмущений, так и более медленных электромеханических взаимных колебаний синхронных машин и, например, еще более длительных процессов изменения паропроизводительности котлов под действием внешних возмущений и средств автоматического регулирования. Вычисления в этих условиях затруднены [48], прежде всего, значительными затратами машинного времени и малой достоверностью результатов вследствие накопления ошибок при вынужденно малых шагах дискретизации процесса.

Размерность

С возрастанием сложности моделируемых объектов растет и размерность их математических моделей.

Системы дифференциальных уравнений высокой размерности, как правило, обладают повышенной жесткостью. Традиционно для анализа жестких систем применяются неявные методы, имеющие более высокие показатели производительности, расширенные области устойчивости и надежность по сравнению с явными численными методами. Однако производительность неявных методов во многом определяется временем построения и декомпозиции матрицы Якоби, которое значительно возрастает с увеличением размерности системы [30, 82, 92].

В настоящее время все больше внимания уделяется распараллеливанию и решению задач на многопроцессорных системах, что позволяет ускорить решение задач высокой размерности. В передовых отечественных (AnyLogic [http://www.anylogic.ru], Rand Model Designer [http://www.mvstudium.com]) и зарубежных системах компьютерного моделирования гибридных систем распараллеливание вычислительного эксперимента производится на уровне состояний ГС. Внутри состояния процессы специфицированы непрерывными моделями, численный анализ которых производится последовательно традиционными схемами. Однако поскольку для ГС в общем случае неизвестно, какими параметрами, начальными условиями, и вообще дифференциальными уравнениями будет характеризоваться хотя бы следующее состояние системы, такой подход к распараллеливанию не представляется

72 оптимальным. В случае параллельных вычислений внутри состояния ГС возникают затруднения в использовании неявных схем, распараллелить которые сложнее, чем явные. Таким образом, для анализа систем высокой размерности целесообразнее применять алгоритмы на основе явных методов [82].

Смена состояний и обнаружение событий

При возникновении событий в системах, где длительное поведение описано с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, происходит мгновенное изменение локальных состояний или режимов. Переключение режимов ГС приводит к разрывам в (1.4), (1.5), обусловленных [54, 74, 85, 86] скачкообразным изменением:

- начальных условий;

- значений параметров правой части;

- правой части без изменения состава фазовых переменных;

- правой части с изменением состава фазовых переменных.

Как указывалось выше, корректное обнаружение событий определяет точность расчета глобального поведения. Особенно важным это становится при анализе жестких ГС с односторонними событиями. Поэтому задача точного обнаружения событий является одной из ключевых в исследовании гибридных систем. Отметим, что в работах [25, 54, 74, 84, 85] не рассматривается вопрос декомпозиции событийной функции в том случае, когда предикат prjявляется логическим выражением. Также в указанных работах не исследовались режимы ГС, заданных неявными задачами вида (1.5). Данные вопросы будут проанализированы в следующих главах.

2.4.2