Фазовое пространство и теорема Лиувилля

Для геометрической интерпретации движения механической системы с s степенями свободы часто используется s-мерное конфигурационное простран­ство. В этом пространстве обобщенные координаты , где , рассматри­ваются как координаты точки, которая соответствует определенному положе­нию механической системы.

В качестве геометрического образа состояния механической системы удобно рассматривать точку в так называемом фазовом пространстве. Под этим термином понимают воображаемое пространство 2s измерений, на коор­динатных осях которого откладываются значения s обобщенных координат и s импульсов изучаемой механической системы. При движении системы изо­бражающая ее состояние фазовая точка описывает в фазовом пространстве ли­нию, которая называется фазовой траекторией.

Произведение дифференциалов рассматривается как элемент объема фазового пространства

Интеграл взятый по некоторой области фазового пространства, представляет собой её объем.

Эта величина обладает свойством инвариантности по отношению к каноническим преобразованиям от переменных и к переменным и , т.е. соответствующие объемы фазовых пространств будут одинаковы:

Предположим, что каждая точка заданной области фазового пространства перемещается со временем согласно уравнениям движения. Тем самым будет перемещаться и вся область. Однако такое перемещение и изменение величин p и q при движении системы можно рассматривать как непрерывное каноническое преобразование. А фазовый объем не изменяется при канонических преобразованиях

Теорема Лиувилля:

при движении механической системы величина фазового объема не изменяется

Задача: найти собственные частоты и нормальные координаты, малых колебаний системы, описываемой функцией Лагранжа