Вариационный принцип Гамильтона (Принцип наименьшего действия). Уравнение движения Лагранжа 2 рода как следствие ПНД

Одним из важных вариационных принципов является Принцип Гамильтона. Сформулируем его для систем в которых имеются идеальные голономные связи.

Системы не свободные, обладают s – степенями свободы, состояние системы задает набор обобщенных координат и скоростей.

Принцип Гамильтона: Если в момент времени система занимает какие-то определенные положения между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл принимал экстремальные значения, а для небольших значений принимал минимальные значения

Если заданная, то значения интеграла зависят от пути интегрирования.

В принципе Гамильтона говорится, что для малых интервалов времени действие S имеет минимальное значение. Благодаря этому данный принцип часто называют принципом наименьшего действия.

В вариационном исчислении существует теорема. Если функционал вида достигает экстремальных значений для функций q(t), то вариация этого функционала , обусловленная заданием вариации функций q(t) и вычисленная с точностью до членов первого порядка будет равна нулю. Следовательно, математически принцип Гамильтона можно записать в виде равенства нулю вариации действия

Свойства :

·

·

Приступим теперь к выводу уравнений Лагранжа второго рода. Предположим, что имеется консервативная механическая система с одной степенью свободы, а ее действительное движение описывается функцией q(t).

, где q'(t) описывает близкое к действительному движению а - синхронная вариация q(t).

Наложим ГУ: при все функции q'(t) принимают соответственно значения . Поэтому

Изменение действия S при замене q(t) на определяется формулой:

Изменение функции L при равно разности:

Левую часть выражения разобьем на два интеграла и проинтегрируем по частям: , но первый член правой части равен 0, поэтому:

Значит и