Затухающие колебания

В действительности, среда созда­ет определенное сопротивление, которое стремится замедлить любые колебания. Ме­ханическая энергия системы при этом переходит в тепло. В этих условиях движение системы не будет относиться к чисто ме­ханическим процессам, а при его описании необходимо учитывать различные до­полнительные факторы.

Рассмотрим тело, совершающее одномерные малые колебания вдоль коор­динатной оси X. Считаем, что на него со стороны среды действует сила , которую можно записать в виде: , где -положительный коэффициент.

Получаем уравнение движения для системы, совершающей колебания при наличии сопротивления среды:

- ОЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами

Общее решение ищем в виде:

Подставляем в ОЛДУ:

Общее решение:

Характер колебаний зависит от свойств среды, т.е.

1) Слабое сопротивление среды

Общее решение:

Смещение от положения равновесия x(t) является реально наблюдаемой вели­чиной, поэтому оно должно быть действительным. Необходимо потребовать

равенство, или

т.е.

Общее решение: ,

где - вещественные постоянные определяемые из НУ задачи

Данное решение описывает затухающие гармонические колебания с экспоненциально убывающей амплитудой . Скорость убывания амплитуды определяется коэффициентом затухания . А частота вынужденных колебаний, меньше частоты собственных колебаний

Период затухающих колебаний – это промежуток времени , равный периоду , при котором появляются нули функции x(t)

Полная механическая энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, убывает со временем по закону , где начальное значение полной энергии

2) Большое сопротивление среды

Общее решение:

Полученный закон движения показывает, что рассматриваемый процесс не

является колебательным.

3)

Это решение также описывает апериодическое затухание. Второй член в мно­жителе за экспонентой первоначально при росте времени t может обеспечить (при положительном значении с2) возрастание отклонения x от положения рав­новесия, но затем экспонента устремит отклонение к нулю.

1)