Уравнение Лагранжа 2 рода

Уравнение записывается в обобщенных координатах. Механическая система образована N материальных точек, присутствует r голономных связей

Воспользуемся общим уравнение динамики:

Радиус вектор и скорости .

Подставим это выражение в общее уравнение динамики:

В данной форме записи связи исчезли, а количество уравнений сократилось с 3N до s.Введем два вспомогательных уравнения:

Преобразуем левую часть 2 уравнения к виду . А теперь подставим в правую часть выражение .

Запишем соотношение , которое, используя вспомогательные уравнения приведем к виду:

Просуммируем по индексу i: .

Введем в рассмотрение - это скалярная величина является обобщенной силой, которая соответствует j-ой координате . Таким образом, учтивая полученные ранее уравнения приходим к следующей системе s уравнений в обобщенных координатах:

, которые носят название уравнения Лагранжа 2 рода для механических систем с идеальными голономными связями.

Рассмотри случай стационарного потенциального поля, т.е. . Тогда сила , действующая на i-ую МТ выражается , тогда для обобщенной силы будет справедлива формула:

Так как потенциальная энергия не зависит от скоростей:

Уравнение Лагранжа второго рода можно записать в виде:

Введя обозначения между разностью кинетической и потенциальной энергией как: получаем уравнение Лагранжа 2 рода для консервативных систем:, где L – функция Лагранжа. Вид функции Лагранжа одинаков во всех системах отсчета. Их вид не зависит от выбора обобщенных координат.