Свободные колебания со многими степенями свободы

Имеется система с s степенями свободы, в которой существует взаимодействие между МТ. Ее функция Лагранжа L записывается через обобщенные координаты и скорости .

Кинетическая энергия:

Потенциальная энергия:

Воспользуемся теоремой Сильвестра: для того чтобы квадратичная форма была определенно положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы квадратичной формы были положительными.

В частности, для механической системы с двумя степенями свободы, записывая выражение для потенциальной энергии около точки q₀

Запишем функцию Лагранжа L системы МТ с s степенями свободы, совершающую свободные малые колебания: . Составим систему уравнений Лагранжа 2 рода:

Частная производную функции Лагранжа по отклонению:

Аналогично вычислим по скорости:

Окончательно приходим к системе уравнений движения: (1)

, где - неизвестные постоянные, подставим в (1) и получим .

Эта система уравнений имеет отличные от нуля решения, если ее определитель равен нулю: .

Частное решение системы ДУ имеет вид:

Общее решение системы (1) получается суммированием всех s частных решений. Запишем его, переходя к вещественной части:

- нормальные координаты. - удовлетворяют уравнению движения.

Функция Лагранжа через нормальные координаты:

3)