Интегралы движения

Интегралы движения эквивалентны дифференциальным уравнениям движения, например, уравнениям Ньютона

Если установлены соотношения , то их можно разрешить относительно неизвестных координат и скоростей, получив зависимости , и определить состояние системы в любой момент времени t.

Для замкнутой механической системы уравнения движения не содержат время t явно, следовательно, один из интегралов движения всегда представим в виде , поскольку выполняется равенство .

Значит существует всего независимых интегралов движения:

Сформулируем теорему: Каждому преобразованию симметрии, оставляющему неизменными уравнения движения, соответствует закон сохранения

Для замкнутой системы уравнения движения инвариантны относительно группы преобразований симметрии, включающей семь элементов: 1) сдвиг по времени, 2) три пространственных сдвига, 3) три пространственных поворота

· Относительно начала отсчета: вытекает закон сохранения энергии с одним скалярным интегралом движения

· Инвариантность уравнений движения относительно смещения начала отсчета системы в пространстве в силу однородности пространства, «порождает» закон сохранения импульса с тремя скалярными интегралами движения.

· Следствием инвариантности уравнений движения относительно поворота оси координат . обусловленной изотропией пространства, является закон сохранения момента импульса и три скалярных интеграла движения.

· Из инвариантности уравнений движений по отношению к преобразованию Галилея: вытекает закон движения центра инерции (центра масс) и возникают три скалярных интеграла движения

2)