Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса замкнутой механической системы обусловлен однородностью пространства, в силу которой механические свойства (или уравнения движения) не меняются при любом пространственном сдвиге системы как целого.

Рас­смотрим замкнутую систему, состоящую из N МТ

Рассмотрим бесконечно малый ее перенос системы на вектор . При этом потребу­ем, чтобы функция Лагранжа L осталась неизменной, т. е. выполнялось равен­ство.

Пусть в системе отсутствуют связи, т.е. система свободная. Тогда положение МТ системы удобно задавать через радиус векторы:

Тогда параллельный перенос системы сводится к преобразованию, при котором все материальные точки смещаются на один и тот же вектор , таким образом, новые положения равновесия характеризует вектор

В результате такого преобразования скорости МТ системы не меняются, т.е. , и изменение функции Лагранжа равно

Т.к. вектор произвольный, то

Запишем уравнение Лагранжа (считая, что в системе отсутствуют связи):

Тогда

Закон сохранения полного импульса: векторная величина, которая называется полным импульсом системы, сохраняет постоянное значение во время движения замкнутой системы

Аддитивность полного импульса системы следует из аддитивности функции Лагранжа, и имеет место независимо от взаимодействий МТ системы:

Если в замкнутой механической системе, учитываются взаимодействия внутри нее, то функция Лагранжа записывается в виде , то импульс i-й МТ выражается через её массу и скорость

Закон сохранения всех трех компонент вектора полного импульса P вы­полняется лишь в замкнутой системе, т. е.

Теорема об изменении импульса точки:

Физический смысл выражения означает, что главный вектор представляющий собой геометрическую сумму сил, действующую на все N МТ системы, для замкнутой системы равен нулю: , где равнодействующая сила приложенная к i-й точке, равна производной по времени от импульса этой точки:

Если движение механической системы описывается в обобщенных коор­динатах, что целесообразно делать, когда в системе присутствуют связи, тогда обобщенная координата, не входящая явно в функцию Лагранжа L, называ­ется циклической координатой. Для нее уравнение Лагранжа приобретает вид , т.е. соответствующий координате обобщенный импульс является интегралом движения, который называется циклическим