Движение частицы в центральном поле
В центральном поле линия действия силы 
проходит через некоторую точку, называемую силовым центром, а потенциальная энергия U(r) частицы зависит только от расстояния 
до силового центра.
Найти закон движения 
частицы можно или, используя уравнения движения Ньютона, учитывая при этом, что частица совершает движение под действием центральной силы: 
Или применяя метод Гамильтона - Якоби. Однако проще всего можно получить решение задачи о движении, если воспользоваться законами сохранения полной механической энергии Е и момента импульса M .
Для рассматриваемой системы функция Лагранжа L, имеющая вид:
не зависит явно от времени, а кинетическая энергия Т является однородной квадратичной функцией скоростей, то должна сохраняться полная механическая энергия:
Сохраняется вектор момента импульса M, определяемого относительно силового центра: 
.
за время dt, стремящееся к нулю, частица прошла путь dl, который описывается концом радиус-вектора r и который характеризуется перемещением dx. Введем в рассмотрение вектор элемента площади. 
- два сегмента.
. Секторная скорость определяется выражением: 
По закону сохранения импульса секторная скорость постоянна 
Предположим, что движение проходит в плоскости х и у. Перейдем к полярной системе координат: 
.
Выполним разделение по переменным и получим: 
- это уравнение позволяет определить траекторию 
движения частицы.
Угол всегда монотонно возрастает со временем, это позволяет его толковать как фиктивное «угловое время»
Определим область значений R, где может происходить движение. Из условия 
. Выполняется равенство 
. При выполнении этого условия радиальная скорость частицы 
, это значит что равенство определяет точку поворота, в которой функция r(t) переходит от уменьшения к увеличению
При движении частицы в центральном поле переменная 
Если изменение расстояния 
ограничено одним неравенством 
, то движение частицы инфинитно.
, достигает границы 
, а затем снова уходит в . Если область изменения r удовлетворяет двум неравенствам 
, т. е. имеется две грани, то движение будет финитным. В этом случае траектория лежит внутри кольца, которое образовано двумя окружностями с радиусами Период Ф по «угловому времени» 
, т. е. угол, на который повернется радиус-вектор r при изменении расстояния r от значения 
до и обратно, равен: 
Для произвольных полей он не кратен 2л, а это значит, что траекторией будет незамкнутая кривая.
3) Задача. По функции Лагранжа найти функцию Гамильтона.
10
1)
Еще по теме Движение частицы в центральном поле:
- 2.Осмотр места происшествия.
- 3. Классификация и характеристики ручного огнестрельного оружия
- Патогенез и стадии острого воспалительного процесса
- 33. Цикл солнечной активности. Проблема «Солнце-Земля».
- Опыты Резерфорда по рассеянию α-частиц. Ядерная модель атома
- Теория упругого рассеяния. Борновское приближение.
- Опыты Резерфорда по рассеянию α-частиц. Ядерная модель атома
- Парциальное разложение амплитуды рассеяния.
- Ход проведения лекции
- Задача двух взаимодействующих тел
- Движение частицы в центральном поле
- Принцип детерминизма и проблема причинности в современной науке.
- Концепция детерминизма и ее роль в физическом познании. Причинность и целесообразность.
- 13. Социально-политические идеалы философии Просвещения: Т. Гоббс и Дж. Локк
- 42. Центральная проблема языка: язык как «имя» вещи и язык как «знак» вещи. Постановка проблемы в истории философии: диалог Платона «Кратил» и его основные положения в плане философии языка.
- СЛОВАРЬ ТЕХНИЧЕСКИХ И НАУЧНЫХ ТЕРМИНОВ