Задача двух взаимодействующих тел

Задача о движении двух взаимодействующих тел в отсутствие внешних сил. Данная задача сводится к движению одного тела в центральном поле

Допустим, что имеется свободная Система, состоящая из двух взаимодействующих частиц с массами , положения которых относительно точки О задают радиус-векторы

Потенциальная энергия U = U(r) взаимодействия двух частиц зависит лишь от расстояния , между ними, функцию Лагранжа можно записать в следующем виде:

Функция Лагранжа не обладает Свойством аддитивности, поэтому применим прием и разложим движение системы на движение центра инерции и движение частиц относительно него.

Разрешаем эта два соотношения относительно и получаем:

В новых переменных , и функция Лагранжа примет вид:

,

Функция Лагранжа стала аддитивной:

- описывает движение механической системы как целого (центра инерции)

- описывает движение частицы с приведенной массой в центральном поле

Совместим систему отсчета с центром инерции, ,

Таким образом, задача о движении двух взаимодействующих частиц эквивалентна задаче о движении одной частицы с массой в заданном внешнем центральном поле U(r), силовой центр которого совпадает с центром инерции.

Решая задачу о движении в центральном поле, получают зависимость .

Закон движения каждой из частиц m1 и m2 по отношению к их центру инерции определяется по формулам.

Отсюда следует, что частицы находятся все время на противоположных концах отрезка прямой, проходящей через центр инерции Они описывают около неподвижного центра инерции траектории, которые геометрически по­добны друг другу, а их линейные размеры обратно пропорциональны массам.

3)