Свойства функции Лагранжа

· Аддитивность: Это свойство присуще функции Лагранжа механической системы, которую можно представить в виде невзаимодействующих подсистем. Например, имеется система, образованная двумя замкнутыми подсистемами А и В, которым соответствуют функции Лагранжа La и L_b.

· Неоднозначность функции Лагранжа. Это свойство означает, что одну и ту же механическую систему можно характеризовать отличными друг от друга функциями Лагранжа. Различают следующие виды неоднозначности.

а. Мультипликативная неоднозначность. Если функцию Лагранжа умножить на произвольную постоянную, то это не отразится на виде уравнений Лагранжа второго рода.

б. Аддитивная неоднозначность. К функции Лагранжа можно добавить полную производную по времени от любой функции F(q,t) координат q и времени t и это не изменит уравнения движения.

Докажем, что функция Лагранжа обладает свойством аддитивной неоднозначности, для этого возьмем функцию Лагранжа:

Рассмотрим действие S’ от этой функции:

Если взять вариацию от левой и правой частей данного выражения, то получим:

Последние два члена при варьировании исчезают, так как вариации обобщен­ных координат на концах интервала равны нулю в силу граничных условий. Таким образом, если согласно принципу Гамильтона выполняется условие , то должно быть справедливым и равенство . Это означает, что вид уравнений Лагранжа для функций L и L' будет одинаковым.

2)