Закон сохранения момента импульса (момент количества движения, угловой момент)
 |
Закон сохранения момента импульса (или момента количества движения, углового момента) возникает вследствие изотропии пространства.
Из-за изотропии механические свойства замкнутой системы не меняются при любом ее повороте в пространстве как целого. Поэтому рассмотрим бесконечно малый поворот свободной системы из N МТ на угол
в некоторый фиксированный момент времени и потребуем, чтобы функция Лагранжа при этом не менялась:
. Пусть 
- вектор бесконечно малого поворота. Его абсолютная величина равна углу поворота , а направление совпадает с осью поворота.
При повороте происходит преобразование радиус векторов, определяющих положение точек системы относительно точки отсчета: 
, где линейное перемещение 
конца радиус-вектора 
связано с вектором поворота векторным произведением 
При повороте системы также меняются направления скоростей всех точек системы: 
; при этом приращение скорости равно 
Изменение функции Лагранжа, вызванное поворотом, определяется как: 
Выполним замену производных функции Лагранжа на импульс и его производную по времени и заменим приращение радиус-векторов и скоростей:
Проведем циклическую перестановку множителей в каждом векторном произведении и вынесем: 
Т.к. вектор выбирается произвольно, то 
Закон сохранения главного момента импульса:
вектор 
, который называют главным моментом импульса (моментом количества движения или угловым моментом) или кинетическим моментом системы, относительно некоторого центра, не изменяется при движении замкнутой системы
Момент импульса обладает свойством аддитивности, которое не зависит от наличия взаимодействия между МТ:
- это момент импульса i-й МТ
Закон сохранения всех трех компонент главного момента импульса M имеет место только для замкнутой системы.
Однако отдельные компоненты могут сохраняться и при наличии внешнего поля. Всегда сохраняются проекции момента на такую ось, относительно которой поле симметрично, следовательно, механические свойства не меняются при любом повороте вокруг нее. Например, в однородном потенциальном поле, направленном вдоль оси Z, сохраняется лишь z-я компонента Мz.Теорема об изменении главного импульса системы:
Производная главного момента импульса по времени t равна главному моменту сил 
относительно некоторого центра 
,
где 
- есть равнодействующая сила, действующая на i-ю МТ, а 
- это момент силы относительно центра.
Еще по теме Закон сохранения момента импульса (момент количества движения, угловой момент):
- Момент импульса. Закон сохранения момента импульса
- Закон сохранения момента импульса (момент количества движения, угловой момент)