Затухающие колебания
В действительности, среда создает определенное сопротивление, которое стремится замедлить любые колебания. Механическая энергия системы при этом переходит в тепло. В этих условиях движение системы не будет относиться к чисто механическим процессам, а при его описании необходимо учитывать различные дополнительные факторы.
Ускорение такой движущейся системы в заданный момент времени уже не является, в общем случае, функцией только ее координат и скорости. Однако имеется определенная категория задач о колебательном движении в среде, где колебания можно приближенно описывать с помощью рассмотренных ранее уравнений движения, вводя в них дополнительные члены представляющие собой силы сопротивления или трения. Если скорость движения системы достаточно мала, то силу сопротивления среды можно разложить в ряд по ее степеням, ограничившись двумя членами разложения. Первый член будет равен нулю в связи с тем, что на неподвижное тело не действует никакой силы сопротивления. Второй член разложения будет пропорционален скорости. Таким образом, на систему будет действовать сила сопротивления среды
, которая является линейной функцией скорости (см. вынужденные одномерные колебания - №13) Рассмотрим тело, совершающее одномерные малые колебания вдоль координатной оси X. Считаем, что на него со стороны среды действует сила , которую можно записать в виде: 
, где 
-положительный коэффициент.
Получаем уравнение движения для системы, совершающей колебания при наличии сопротивления среды:
- ОЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами
Общее решение ищем в виде: 
Подставляем в ОЛДУ: 
Общее решение: 
Характер колебаний зависит от свойств среды, т.е.
от соотношения между
1) Слабое сопротивление среды 
Общее решение: 
Смещение от положения равновесия x(t) является реально наблюдаемой величиной, поэтому оно должно быть действительным. Необходимо потребовать
равенство
, или 
т.е. 
Общее решение: 
,
где 
- вещественные постоянные определяемые из НУ задачи
Данное решение описывает затухающие гармонические колебания с экспоненциально убывающей амплитудой 
. Скорость убывания амплитуды определяется коэффициентом затухания 
. А частота 
вынужденных колебаний, меньше частоты собственных колебаний 
Период затухающих колебаний – это промежуток времени 
, равный периоду 
, при котором появляются нули функции x(t)
Полная механическая энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, убывает со временем по закону 
, где 
начальное значение полной энергии
2) Большое сопротивление среды 
Общее решение: 
Полученный закон движения показывает, что рассматриваемый процесс не
является колебательным.
При больших значениях времени t происходит монотонное убывание смещения x и механическая система приближается к положению равновесия. Данный тип движения называется апериодическим затуханием3) 
Это решение также описывает апериодическое затухание. Второй член в множителе за экспонентой первоначально при росте времени t может обеспечить (при положительном значении с2) возрастание отклонения x от положения равновесия, но затем экспонента устремит отклонение к нулю.
Задача:
Найти функцию Лагранжа с массой m на шаровой поверхности радиуса R в поле силы тяжести (сферический маятник)
Еще по теме Затухающие колебания:
- Свободные и вынужденные электромагнитные колебания. Колебательный контур и превращение энергии при электромагнитных колебаниях. Частота и период колебаний
- Свободные и вынужденные электромагнитные колебания. Колебательный контур и превращение энергии при электромагнитных колебаниях. Частота и период колебаний
- Основные термины и формулы по многим разделам физики
- 1)Потенциальность электрoстатистического поля. рассчитаем работу при перемещении заряда q1 в поле, создаваемом зарядом q при переходе из точки 1 в точку 2.
- 1)Электрический заряд элементарная частица – количественная мера ее электромагнитного взаимодействия с другими частицами.
- 1)Сегнетоэлектрики – диэлектрики, обладающие в определенном интервале времени спонтанной поляризованностью, т.е. поляризованностью в отсутствие внешнего электрического поля. (например, сегнетова соль, титанат бария).
- Свободные незатухающие колебания в контуре без активного сопротивления
- Свободные незатухающие колебания в контуре без активного сопротивления
- 1. Гидромагнитная неустойчивость плазмы
- 32. Электрический колебательный контур. Свободные незатухающие электромагнитные колебания
- 33. Свободные затухающие электромагнитные колебания
- Затухающие колебания
- Вынужденные одномерные колебания при наличии сопротивления
- Затухающие колебания
- 2.4.Излучение электрического диполя
- 12.Предложение и спрос: рыночное равновесие. Условия равновесия (гипотезы Вальраса-Хикса и Маршала).