Свободные незатухающие колебания в контуре без активного сопротивления

1.Свободные затухающие колебания

2.Вынужденные электрические колебания.

Цепь содержащая индуктивность и емкость называется колебательным контуром. в контуре активное сопротивление =0.

(5)Получили что

Но реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревании вследствие чего свободные колебания затухают. Уравнение колебаний можно получить, исходя из того, что сумма падений напряжения на емкости, и индуктивности и активном сопротивлении должна быть равна нулю:

. Разделив это на L и i= , а =,получим (1.1)Т.к. = и обозначив (1.2) уравнению (1.1) можно придать вид (1.3)Это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением затухающих механических колебаний .

Подставляя значение(*)для находим таким образом ,частота затухающих колебаний < собственной частоты . При R=0:

чтобы найти силы тока продифференцируем по времени ,

После преобразований можно написатьПоскольку соs0, Т. о., при наличии в контуре активного сопротивления ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на /2 (при R = 0 опережение составляет /2) Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания где а (t) — амплитуда соответствующей величины (q,U или i).Колебательный контур часто характеризуют его добротностью, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания.

Амплитуда тока имеет значение(2.5)Резонансная частота q для заряда и напряжения Uна конденсаторе равна(2.6).

Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. Амплитуда силы тока (2.5) имеет максимальное значение при . След-но, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура . При постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может. При малом затухании отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе к амплитуде внешнего напряжения будет в этом случае равноГде Q- добротность контура .

Добротность контура характеризует также остроту резонансных кривых. Вынужденные колебания можно также осуществить, подключив источник напряжения параллельно колебательному контуру.

Явление резонанса используется для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно

Настроив контур на одну из частот и т.

Уравнения Максвелла

Открытие тока смещения позволило Максвеллу соз­дать единую теорию электрических и магнитных явле­ний. Эта теория объяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впослед­ствии. Основным следствием теории Максвелла был вы­вод о существовании электромагнитных волн, распро­страняющихся со скоростью света. Теоретическое исследование свойств этих волн привело Максвелла к созданию электромагнитной теории света.

Основу теории образуют уравнения Максвелла. В уче­нии об электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль, как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике.

Первую пару уравнений Максвелла образуют урав­нения:

Первое из этих уравнений связывает значения Е с временными изменениями вектора В и является по существу выражением закона электромагнитной индукции.

Второе уравнение отражает то свойство вектора В, что его линии замкнуты (или уходят в бесконечность).

Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравне­ния:

(под j здесь и в дальнейшем понимается плотность тока проводимости).

Первое уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смещения и порождаемым ими магнит­ным полем. Второе показывает, что линии вектора D мо­гут начинаться и оканчиваться на зарядах.

Уравнения (108.1) - (108.4) представляют собой урав­нения Максвелла в интегральной форме. Они связывают значения Е или Н вдоль некоторого контура со значения­ми В (соответственно D) в точках опирающейся на кон­тур поверхности. От уравнений в интегральной форме можно с помощью теорем векторного анализа перейти к уравнениям в дифференциальной форме, которые связы­вают значения Е или Н в некоторой точке с В (соответ­ственно D) в той же самой точке пространства.

Применим теорему Стокса к левой части формулы (108.1), взяв в качестве поверхности, по кото­рой производится интегрирование функции (rot E)_n, ту же поверхность, по которой берется интеграл в правой части. Тогда уравнение (108.1) примет вид:

Оба интеграла берутся по одной и той же поверх­ности. Поэтому полученное равенство можно написать следующим образом:

Это равенство должно выполняться для произвольно выбранной поверхности интегрирования S,что, очевидно,

возможно лишь в том случае, если подынтегральное вы­ражение в любой точке пространства для произвольно ориентированной площадки dS будет равно нулю. Таким образом, мы приходим к выводу, что в каждой точке пространства выполняется равенство: .

Применив теорему Стокса к формуле (108.3) и повто­рив те же самые рассуждения, найдем, что:

Теперь применим теорему Остроградского — Гаусса к левой части формулы (108.4). В резуль­тате получим уравнение:.

При произвольном выборе объема, по которому про­изводится интегрирование, полученное соотношение мо­жет выполняться лишь при условии, что подынтеграль­ные выражения в обеих частях имеют в каждой точке пространства одинаковые значения, т. е. .

Применение теоремы Остроградского — Гаусса к фор­муле (108.2) дает:

Итак, в дифференциальной форме уравнения Макс­велла выглядят следующим образом:

При решении этих уравнений используется то обстоя­тельство, что между входящими в них величинами имеются соотношения:

Совокупность семи уравнений (108.5) - (108.11) об­разует основу электродинамики покоящихся сред.

Спроектировав уравнения (108.5) и (108.7) на коор­динатные оси, получим вместо каждого из векторных уравнений три скалярных. Получим:

Уравнения (108.6) и (108.8) можно написать в ска­лярном виде:

В гауссовой системе уравнения Максвелла имеют вид:

Волновое уравнение

Переменное электрическое поле порождает магнитное, которое, во­обще говоря, тоже оказывается переменным. Это пе­ременное магнитное поле порождает электрическое поле и т. д. Таким образом, если возбудить с помощью заря­дов переменное электрическое или магнитное поле, в окружающем пространстве возникнет последователь­ность взаимных превращений электрического и магнит­ного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во времени и в простран­стве и, следовательно, представляет собой волну. Вывод о возможности существования электромагнитных волн вытекает, как мы сейчас покажем, из уравнений Макс­велла.

Напишем уравнения Максвелла для однородной ней­тральной (r = 0) непроводящей (j = 0) среды с постоян­ными проницаемостями e и m. В этом случае:

Следовательно, уравнения (108.5) - (108.8) имеют вид:

Применим к уравнению (109.1) операцию rot

Символ rot означает дифференцирование по коорди­натам. Меняя порядок дифференцирования по координа­там и времени, можно написать .

Произведя в уравнении (109.5) эту замену и подставив в получившееся выражение значение (109.3) для rot H, получим

Применив операцию rot к уравнению (109.3) и произ­ведя аналогичные преобразования, придем к уравнению

. При условии, выражаемом уравнением (109.4), первый член этого равенства обращается в нуль. Следовательно, левая часть формулы (109.6) может быть записана в виде —. Опустив в получающейся формуле знак минус слева и справа, придем к уравнению

или, расписав ,

Сходным образом уравнение (109.7) можно преобра­зовать к виду

Заметим, что уравнения (109.8) и (109.9) неразрывно связаны друг с другом, так как они получены из уравне­ний (109.1) и (109.3), каждое из которых содержит и Е и Н.

Уравнение вида

представляет собой волновое уравнение [см. т. I, § 80)]. Всякая функция, удовлетворяющая такому уравнению, описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при дает фа­зовую скорость этой волны. Таким образом, уравнения (109.8) и (109.9) указывают на то, что электромагнит­ные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

Для вакуума по этой формуле получается

.

Таким образом, в вакууме фазовая скорость электро­магнитных волн совпадает со скоростью света.

В гауссовой системе

Плоская электромагнитная волна

Исследуем плоскую электромагнитную волну, распро­страняющуюся в однородной непроводящей среде (r = 0, j = 0, D = ee₀E, В = mm₀Н, e и m, — постоянные). Напра­вим ось x перпендикулярно к волновым поверхностям. Тогда Е и Н, а значит, и их составляющие не будут за­висеть от координат y и z. Поэтому уравнения (108.12) - (108.15) упрощаются следующим образом:

Первое из уравнений (110.2) и уравнение (110.4) по­казывают, что Е_x не может зависеть ни от t, ни от х. Пер­вое из уравнений (110.1) и уравнение (110.3) дают тот же результат для Н_x. Таким образом, отличные от нуля Е_x и Н_x могут быть обусловлены лишь постоянными од­нородными полями, накладывающимися на электромаг­нитное поле волны. Само поле волны не имеет состав­ляющих вдоль оси x, т. е. векторы Е и Н перпендику­лярны к направлению распространения волны - элек­тромагнитные волны поперечны. В дальнейшем мы бу­дем предполагать постоянные поля отсутствующими и полагать Е_x = Н_x = 0.

Два последних уравнения (110.1) и два последних уравнения (110.2) можно объединить в две независимые

группы:

Первая группа уравнений связывает составляющие Е_y и H_z, вторая — E_z и Н_y. Предположим, что первоначально было создано переменное электрическое поле Е_y, на­правленное вдоль оси у. Согласно второму из уравнений (110.5) это поле создаст магнитное поле H_z, направлен­ное вдоль оси z. В соответствии с первым уравнением (110.5) поле H_z создаст электрическое полз Е_y и т. д. Ни поле E_z, ни поле Н_y при этом не возникают. Анало­гично, если первоначально было создано поле E_z, то со­гласно уравнениям (109.6) появится поле Н_y, которое возбудит поле E_z и т. д. В этом случае не возникают по­ля Е_y и H_z. Таким образом, для описания плоской элек­тромагнитной волны достаточно взять одну из систем уравнений (110.5) и (110.6), положив составляющие, фигурирующие в другой системе, равными нулю.

Возьмем для описания волны уравнения (110.5), по­ложив E_z = Н_y = 0. Продифференцируем первое уравнение по х и произведем замену: . Подставив затем из второго уравнения, получим волно­вое уравнение для Е_y:

Продифференцировав по x второе уравнение (110.5), найдем после аналогичных преобразований волновое уравнение для H_z:

Напомним, что остальные составляющие Е и Н равны нулю, так что Е = Е_y и Н = Н_z. Мы сохранили в уравне­ниях (110.7) и (110.8) индексы у и z при Е и Н для того, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что векторы Е и Н направлены по взаимно перпендикулярным осям у и z,

Уравнения (110.7) и (110.8) представляют собой част­ный случай уравнений (109.8) и (109.9). Простейшим решением уравнения (110.7) будет функция

Решение уравнения (110,8) имеет аналогичный вид

В этих формулах w - частота волны, k - волновое число, равное w/v, a₁ и a₂ - начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0.

Подставим функции (110.9) и (110.10) в уравнения (110.5):

Для того чтобы уравнения удовлетворялись, необхо­димо равенство начальных фаз a₁ и a₂. Кроме того, должны соблюдаться соотношения:

Перемножив эти два равенства, находим, что

Таким образом, колебания электрического и магнит­ного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой (a₁ = a₂), а амплитуды этих векторов связаны соотношением

Из формулы (110.11) вытекает, что между значениями Е_m и Н_m для волны, распространяющейся в пустоте, имеется соотношение

В гауссовой системе формула (110.11) имеет вид

Следовательно, в пустоте Е_m = Н_m (Е_m измеряется в СГСЭ - единицах, Н_m — в СГСМ - единицах).

Умножив уравнение (110.9) на орт оси y (E_yj = Е), а уравнение (110.10) на орт оси z (H_zk = H), получим уравнения плоской электромагнитной волны в векторном виде:

(мы положили a₁ = a₂ = 0).

Энергия электромагнитного поля

Плотность энергии электромагнитного поля w сла­гается из плотности энергии электрического поля и плотности энергии магнит­ного поля:

В данной точке пространства векторы Е и Н изме­няются в одинаковой фазе. Поэтому соотношение (110.11) между амплитудными значениями Е и Н спра­ведливо и для их мгновенных значений. Отсюда следует, что плотность энергии электрического и магнитного по­лей каждый момент времени одинакова: WE = WH. По­этому можно написать, что

Воспользовавшись тем, что выраже­нию для плотности энергии электромагнитной волны можно придать вид

В соответствии с формулой (109.10) скорость элек­тромагнитной волны равна Умножив плотность энергии w на скорость v, получим плотность по­тока энергии

Векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему. Поэтому направление вектора [ЕН] совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен EH (sin a = 1). Следовательно, вектор плотности потока энергии можно представить как векторное произ­ведение Е и Н

Вектор S называется вектором Пойнтинга. В гауссовой системе выражение для S имеет вид

Поток энергии Ф_w,, т. е. количество энергии, переноси­мое волной в единицу времени через некоторую поверх­ность S, равен

(здесь S_n - нормальная составляющая вектора S; dS — элемент поверхности S).

Импульс электромагнитного поля

Падая на какое-либо тело, электромагнитная волна должна оказывать на него давление. Происхождение этого давления легко пояснить на примере проводящего тела (s ? 0). Пусть плоская волна падает по нормали на плоскую поверхность тела. Электрический вектор волны возбуждает в теле ток плотности j = sЕ. Магнитное поле волны будет действовать на ток с силой, величину которой в расчете на единицу объема тела можно найти по формуле:

Направление этой силы совпа­дает с направлением распространения волны.

Согласно вычислению Максвелла в случае, когда тело полностью поглощает падающую на него энергию, дав­ление равно среднему (по времени) значению плотности энергии в падающей волне:

Если тело отражает волну, посылая в обратном на­правлении волну интенсивности S = kS₀ (S₀.— интенсив­ность, т. е. плотность потока энергии падающей волны, k —. коэффициент отражения), то давление равно

где w — среднее значение плот­ности энергии падающей волны. Для идеально отражающего тела k = 1 и р = 2w.

Из того факта, что электро­магнитная волна оказывает давление, вытекает, что поле электромагнитной волны обладает импульсом. Вычисления дают для импульса единицы объема (плотности импульса) поля в пустоте значение

Наличие импульса заставляет приписать электромаг­нитному полю массу, связанную с импульсом соотноше­нием K = mс (поле в вакууме распространяется со скоростью с). Разделив модуль выражения (113.3) на с, получим массу единицы объема поля

Выражение EH/c дает плотность энергии поля w. Следовательно, можно написать, что

Полученное нами соотношение является частным случаем вытекающего из теории относительности

соотношения между массой и энергией:

согласно которому всякое изменение энергии системы (под которой понимается совокупность тел и полей) связано с изменением ее массы и, наоборот, изменение мас­сы системы влечет за собой изменение ее энергии.