Свободные незатухающие колебания в контуре без активного сопротивления
1.Свободные затухающие колебания
2.Вынужденные электрические колебания.
Цепь содержащая индуктивность и емкость называется колебательным контуром. в контуре активное сопротивление =0.
Для того чтобы вызвать колебания, можно присоединить отключенный от индуктивности конденсатор к источнику тока, вследствие чего на обкладках возникнут разноименные заряды величины
(стадия 1) между обкладками возникнет электрическое поле, энергия которого равна 
.Если затем отключить источник тока и замкнуть конденсатор на индуктивность, емкость начнет разряжаться и в контуре потечет ток. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но зато возникнет все возрастающая энергия магн. поля, обусловленного током, текущим через индуктивность. Эта энергия равна
Так как активное сопр. цепи =0, полная энергия, слагающаяся из энергии электр. поля 
и энергии магн-го поля 
остается постоянной. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергий электр. и магн. полей. Во время колебаний внешнее напряжение к контуру не приложено. Поэтому падения напряжения на емкости и на индуктивности в сумме 
Разделив это выражение на L и заменив 
через 
, придем к следующему уравнению:
Если ввести обозначение 
то 
(3)Решением ее явл. функция 
(4), заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой (*)Эта частота называется собственной частотой контура . Для периода колебаний получается формула Томпсона
Напряжение на конденсаторе : 
(4)Продифференцировав функцию (4) по времени, получим выражение для силы тока 
(5)Получили что
Но реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревании вследствие чего свободные колебания затухают. Уравнение колебаний можно получить, исходя из того, что сумма падений напряжения на емкости, и индуктивности и активном сопротивлении должна быть равна нулю:
Разделив это на L и i=
, а 
=
,получим
(1.1)Т.к. 
=
и обозначив 
(1.2) уравнению (1.1) можно придать вид 
(1.3)Это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением затухающих механических колебаний .
, т. е.
решение уравнения (1.3) имеет вид
Подставляя значение(*)для 
находим
таким образом ,частота затухающих колебаний 
< собственной частоты 
. При R=0:
чтобы найти силы тока продифференцируем по времени 
,
После преобразований можно написать
Поскольку соs
0,
Т. о., при наличии в контуре активного сопротивления ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на 
/2 (при R = 0 опережение составляет /2) Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания 
где а (t) — амплитуда соответствующей величины (q,U или i).Колебательный контур часто характеризуют его добротностью, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания. 
(1.4)
Из (1.4) следует, что добротность контура тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться.
При слабом затухании добротность контура пропорциональна отношению энергии, запасенной в контуре, к убыли этой энергии за один период колебания. При
т. е.
вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Значение критического сопротивления 
(1.5) 2. Вынужденные электрические колебания Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную э. д. с. или, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты переменное напряжение U. Приравняем сумму падений напряжения на элементах контура приложенному напряжению 
,Перейдя от тока i к заряду q и использовав обозначения, получим уравнение
. Частное решение этого уравнения имеет вид q=q
где
(2.2) tg
(2.3 )Разделив заряд q на емкость С, получим напряжение на конденсаторе 
Продифференцировав функцию по t , найдем установившийся ток в контуре 
(2.4)
Амплитуда тока имеет значение
(2.5)Резонансная частота q для заряда и напряжения U
на конденсаторе равна
(2.6).
резонансные кривые стремятся к 
-напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения величины U
Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше 
, т.е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура. 
Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. Амплитуда силы тока (2.5) имеет максимальное значение при 
. След-но, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура . При постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может. При малом затухании отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе к амплитуде внешнего напряжения 
будет в этом случае равно
Где Q- добротность контура .
Добротность контура характеризует также остроту резонансных кривых. Вынужденные колебания можно также осуществить, подключив источник напряжения параллельно колебательному контуру.
Явление резонанса используется для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно
Настроив контур на одну из частот 
и т. д. (т. е. подобрав соответствующим образом его параметры С и L), можно получить на конденсаторе напряжение, в Q раз превышающее величину данной составляющей, в то время как создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Это используется при настройке радиоприемника на нужную длину волны.
Еще по теме Свободные незатухающие колебания в контуре без активного сопротивления:
- Свободные незатухающие колебания в контуре без активного сопротивления
- Свободные незатухающие колебания в контуре без активного сопротивления