6. Явление электромагнитной индукции. Правило Ленца.

В 1831 г. Фарадей открыл, что во всяком замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную этим конту­ром, возникает электрический ток.

Величина индукционного тока не зависит от способа, которым вызывается изменение потока магнитной ин­дукции Ф, и определяется лишь скоростью изменения Ф, т. е. значением dФ/dt. При изменении знака dФ/dt ме­няется также направление тока. Поясним сказанное сле­дующим примером. На рис. 1 изображен контур 1, силу тока в котором i₁ можно менять с помощью рео­стата. Ток i₁ создает магнитное поле, пронизывающее контур 2. Если увеличивать ток i₁, поток магнитной ин­дукции Ф через контур 2 будет расти. Это приведет к появлению в контуре 2 индукционного тока i₂ регистри­руемого гальванометром. Уменьшение тока i₁ обусловит убывание потока магнитной индукции через второй кон­тур, что приведет к появлению в нем индукционного тока иного направления, чем в первом случае. Индук­ционный ток i₂ можно вызвать также, приближая кон­тур 2 к первому контуру, или удаляя второй контур от первого. В обоих случаях направления возникающего тока будут противоположными. Наконец, электромагнитную индукцию можно вызвать, не перемещая контур 2 поступательно, а поворачивая его так, чтобы менялся угол между нормалью к контуру и направлением поля.

Заполнение всего пространства, в котором поле от­лично от нуля, однородным магнетиком приводит, при прочих равных условиях, к увеличению индукционного тока в раз. Этим подтверждается то, что индукцион­ный ток обусловлен изменением не потока вектора Н, а потока магнитной индукции.

Ленц установил правило, с помощью которого можно найти направление индукционного тока. Правило Ленца гласит, что индукционный ток всегда направ­лен так, чтобы противодействовать причине, его вызы­вающей. Если, например, изменение Ф вызвано переме­щением контура, то возникает индукционный ток такого направления, что сила, действующая на него во внеш­нем поле, противится движению контура. При прибли­жении контура 2 к первому контуру возникает ток i^/₂ (рис. 1), магнитный момент которого направлен про­тив внешнего поля (угол между векторами р^/_m , и В равен ). Следовательно, согласно формуле M= р_mB на контур 2 будет действовать сила, отталкивающая его от первого контура. При удалении контура 2 от первого контура возникает ток i^//₂, момент которого р^//_m совпа­дает по направлению с В ( = 0), так что сила, дей­ствующая на контур 2, имеет направление к первому контуру.

Пусть контур 2 неподвижен, и ток индуцируется в нем путем изменения тока i₁ в первом контуре. В этом случае индуцируется ток i₂ такого направления, что со­здаваемый им собственный магнитный поток стремится ослабить изменения внешнего потока, приведшие к по­явлению индукционного тока. При увеличении i₁, т. е. возрастании внешнего магнитного потока, направлен­ного вправо, возникнет ток i^/₂, создающий поток, направ­ленный влево. При уменьшении i₁ возникает ток i², собственный магнитный поток которого направлен так же, как и внешний поток, и, следовательно, стремится, поддержать внешний поток неизменным.

Электродвижущая сила индукции.

Для создания тока в цепи необходимо наличие э.д.с. Поэтому явление электромагнитной индукции свиде­тельствует о том, что при изменениях магнитного по­тока Ф в контуре возникает электродвижущая сила индукции

Чтобы выяснить связь между и .скоростью изме­нения Ф, рассмотрим следующий пример. Возьмем кон­тур, участок которого 1—2 длины может перемещаться без нарушения контакта с остальной частью контура (рис. 2а). Поместим его в однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости контура (это поле изображено на рисунке кружками с крестиками — век­тор В направлен от нас за чертеж). Приведем подвижную часть контура в движение со скоростью v. С той же скоростью станут перемещаться относительно поля и носители заряда в проводнике — электроны (рис. 2б), В результате на каждый электрон начнет действовать сила Лоренца f_//, равная по модулю f_// =evB (т.к. df=i[dl B]) индекс «//» указывает на то, что сила направлена вдоль провода. Действие этой силы эквивалентно действию электри­ческой силы, обусловленной полем напряженности E=vB

имеющим направление, указанное на рис. 26. Это поле неэлектростатического происхождения. Его цир­куляция по контуру дает величину э. д. с., индуцируемой в контуре:

=, dS = lv dt — приращение площади контура за вре­мя dt (это приращение равно заштрихованной площади на рис. 2, а). При вычислении циркуляции мы учли, что E_l отлична от нуля лишь на участке длины , причем на этом участке всюду E_l=Е

Произведение В dS дает dФ— приращение потока магнитной индукции через контур.

На рис. 3 показано направление. для различных направлений вектора В и разной зависимости В от времени.

Единицей потока, магнитной индукции в СИ служит вебер (вб), который представляет собой поток через поверхность в 1 м², пересекаемую нормальными к ней линиями магнитного поля с В, равной 1 тесла. При скорости изменения потока, равной 1 еб/сек, в контуре ин­дуцируется э. д. с., равная 1в. В рассмотренном нами выше примере роль сторон­них сил, поддерживающих ток в контуре, играют силы Лоренца. Работа этих сил над единичным положительным зарядом, равна я по определению э. д. с. ока­зывается отличной от нуля.

Рассмотренное нами объяснение возникновения э. д. с. индукции относится к случаю, когда магнитное поле постоянно, а изменяется геометрия контура. Но маг­нитный поток через контур может, изменяться также за счет изменения В. В этом случае объяснение возникно­вения э. д. с. оказывается в принципе другим. Изменяющееся со временем магнитное поле В порождает вихревое электрическое поле Е. Под действием поля Е приходят в движение носители тока в проводнике — возникает индуцирован­ный ток. Связь между э. д. с. индукции и изменениями магнитного потока и в этом случае описывается фор­мулой (1).

Пусть контур, в котором индуцируется э. д. с. со­стоит не из одного витка, а из N одинаковых витков, т. е. представляет собой соленоид (или тороид). По­скольку витки соленоида соединяются последовательно, будет равна сумме э. д. с. индуцируемых в каждом из витков в отдельности. = Величину(2) называют потокосцеплением или полным магнитным потоком. Ее измеряют в тех же еди­ницах, что и Ф. Если поток, пронизывающий каждый из витков, одинаков,=NФ (3) Воспользовавшись потокосцеплением, выражение для э.д.с., индуцируемой в соленоиде, можно записать в виде = - (3)

Опыты Фарадея .В 1831 г. М. Фарадей сделал одно из самых фундаментальных физических открытий — показал, что меняющееся во времени магнитное поле сопровождается меняющимся электрическим полем, явление названо электромагнитной индукцией.

1. При любом изменении магнитного потока через катушку, замкнутую на гальванометр, последний регистрирует ток (во время изменения потока). Поток может изменяться за счет перемещения вблизи катушки постоянного магнита или другой катушки с током, за счет изменения тока в другой неподвижной катушке или за счет изменения ее формы и размеров и т. д. Направление возбуждаемого (индукционного) тока зависит от знака изменения магнитного потока.

2. Если электромагнитная индукция вызывается перемещением какой-либо части установки, то важно лишь относительное переме­щение — можно двигать или источник магнитного поля, или катушку.

3. Эффект выражен тем сильнее, чем быстрее меняется магнит­ный поток и чем больше витков имеет катушка.

4. При заполнении части пространства ферромагнетиком (удоб­но внести ферромагнетик внутрь приемной катушки) эффект возрастает, из чего следует, что он связан с магнитной индукцией В, а не с напряженностью Н.

К этим общеизвестным опытам добавим еще два:

1. Пусть контур, содержащий катушку, устроен так, что можно менять его сопротивление, не меняя конфигурацию контура. Если (при разных значениях сопротивления) изменять магнитный поток одинаковым образом, то индукционный ток оказывается обратно пропорциональным сопротивлению контура. Это позволяет предположить, что сущность явления заключается в возникновении разности потенциалов (электрического поля), а появление тока — вторичный эффект.

2. Указанное предположение подтверждается другим опытом приемную катушку присоединяют к электроскопу (так что не образуется замкнутой проводящей цепи). При изменении магнитного тока через катушку наблюдается отклонение стрелки электроскопа что доказывает возникновение разности потенциалов в разомкнутой цепи.

Совокупность указанных опытов приводит к заключению, во всех случаях изменения магнитного поля наблюдается возникновение электрического поля.

Законы Фарадея и Максвелла.Теория Максвелла сыграла выдающуюся роль в развитии наших знаний об электричестве. Для того чтобы лучше понять значение этой теории, необходимо вспомнить историческую последовательность ос­новных открытий в области электричества до работ Максвелла.

Как уже упоминалось, количественное изучение электрических явлений началось с работ Кулона (1785 г.), установившего сначала закон взаимодействия электрических зарядов и распространившего его позднее на взаимодействие «магнитных зарядов». Однако вплоть до 1820 г. электрические и магнитные явления рассматривали как различные явления, не связанные между собой.

Открытие Эрстедом в 1820 г. магнитного действия тока показало, что между магнитными и электрическими явлениями существует связь и что магнитные действия можно получить при помощи элект­рических токов. Магнитное действие токов было детально изучено Ампером, который пришел к заключению, что все магнитные явле­ния в природе, в том числе и связанные с постоянными магнитами, вызваны электрическими токами (теория молекулярных токов Ам­пера).

Дальнейшими важными результатами того периода мы обязаны Фарадею. Из них особое значение имело открытие электромагнит­ной индукции. Фарадей исходил из основной идеи о взаимной связи явлений природы. Он считал, что если ток способен вызывать маг­нитные явления, то и, обратно, при помощи магнитов или других токов можно получить электрические токи. В результате настойчи­вых и многочисленных попыток Фарадей действительно открыл в 1831 г. это явление, которое еще более укрепило представление о связи между электричеством и магнетизмом.

Второй важнейшей идеей в работах Фарадея было признание основной, определяющей роли промежуточной среды в электриче­ских явлениях. Фарадей не допускал действия на расстоянии, кото­рое, как мы сейчас хорошо знаем, физически бессодержательно, и считал, что электрические и магнитные взаимодействия передаются промежуточной средой и что именно в этой среде разыгрываются основные электрические и магнитные процессы.

В работах Максвелла идеи Фарадея подверглись дальнейшему углублению и развитию и были превращены в строгую математиче­скую теорию. В теории Максвелла мысль о тесной связи электри­ческих и магнитных явлений получила окончательное оформление в виде двух основных положений теории, и была в строгой форме выражена в виде уравнений Максвелла. Поэтому теория Максвелла явилась завершением важ­ного этапа в развитии учения об электричестве и привела к класси­ческому представлению об электромагнитном поле, содержащем в об­щем случае и электрическое, и магнитное поля, связанные между собой и способные взаимно превращаться друг в друга.

Уравнения Максвелла содержат в себе все основные законы элек­трического и магнитного полей, включая электромагнитную индук­цию, и поэтому являются общими уравнениями электромагнитного поля в покоящихся средах.

Теория Максвелла не только объяснила уже известные факты, но и предсказала новые и важные явления. Совершенно новым в этой теории явилось предположение Максвелла о магнитном поле токов смещения. На основе этого предположения Максвелл теорети­чески предсказал существование электромагнитных волн, т. е. переменного электромагнитного поля, распространяющегося в простран­стве с конечной скоростью. Теоретическое исследование свойств электромагнитных волн привело затем Максвелла к созданию электро­магнитной теории света, согласно которой свет представляет собой также электромагнитные волны. В дальнейшем электромагнитные волны действительно были получены на опыте, а еще позднее электро­магнитная теория света, а с нею и вся теория Максвелла, получили полное и блестящее подтверждение.

Уравнения Максвелла.- это уравнения устанавливающие связь между вихревым электрическим полем и вызывающим его переменным магнитным полем. Обратимся к закону электромагнитной индукции, согласно которому: считая контур L неподвижным, перепишем это уравнение в виде: , согласно формуле Стокса (если поверхность конечная то ее можно разбить на бесконечно малые участки и используя определение ротора (rotA) получить соотношение: где L контур ограничивающий S – это соотношение и есть формула Стокса.) линейный интеграл в поверхностный: учитывая что элемент контра dl и элемент поверхности dS образуют правовинтовую систему. Итак: а поскольку контур L и опирающаяся на него поверхность могут быть произвольными, то отсюда следует, что rot E= Это фундаментальное соотношение (первое уравнение Максвелла) показывает, что ротор электрического поля совпадает (с точно­стью до множителя 1/с) со взятой с обратным знаком производной по времени от вектора магнитной индукции.

Электрическое поле, порождаемое пе­ременным магнитным полем, является вихревым, а не потенциальным, и поэтому его силовые линии будут замкнутыми, в отличие от силовых линий электростатического поля, которые всегда ра­зомкнуты.

Из первого уравнения Максвелла легко вывести закон элект­ромагнитной индукции— для этого стоит лишь проинтегрировать обе части этого уравнения по какой-либо поверхности S, опираю­щейся на некоторый проводящий контур L. Воспользовавшись далее формулой Стокса, можно преобразовать поверхностный ин­теграл от ротора электрического поля в циркуляцию этого поля вдоль контура L. Таким образом, мы получим ЭДС, действующую в контуре, которая выразится через временную производную маг­нитного потока, пронизывающего контур. На этом основании мы можем сделать вывод, что первое уравнение Максвелла представ­ляет собой закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме.

В действительности, однако, уравнение Максвелла содержит больше информации, чем закон электромагнитной индукции. За­кон электромагнитной индукции неотъемлем от проводящего, или, в более общей формулировке, материального, контура. Уравнение Максвелла не связано с материальным контуром — в него входят в чистом виде сами поля, иными словами, это — полевое уравнение, связывающее поля в данном месте пространства и в данный момент времени.

Беря дивергенцию (divA=) от обеих частей уравнения Максвелла и за­мечая, что div rot E = 0, получаем divB = 0, откуда следует, что дивергенция магнитной индукции не зависит от времени. Такой вывод вытекает из первого уравнения Максвелла, но этот вывод не означает, что divB = 0.

Последнее соотношение выполняется, но оно не вытекает из первого уравнения Максвелла, а выражает отдельный закон природы — закон отсутствия в природе магнитных зарядов. Напомним в этой связи, что магнитные силовые линии не имеют ни начала, ни конца.

В случае вакуума в уравнение максвелла входят 2 поля Е и В, это уравнение наз первым уравнением Максвелла. А в случае материальных сред – 4 поля: Е, В и D, H: rot E = , divB=0, rotH=, divD=. Из этих полей непосредственный физический смысл имеют поля Е и В. Они представляют собой усредненные микроскопические электрические и магнитные поля. Поля D и Н вспомогательные, чтобы их найти надо кроме Е и В знать поляризацию Р и намагниченность М: D-E+P, H = B - M. P и M зависят от В и Е, но нахождение зависимости сложная задача, которая может быть решена только на основе атомной динамики.

Методы измерения магнитной индукции.Пусть полный поток, сцепленный с некоторым зам­кнутым контуром, изменяется от значения ₁ до ₂. Найдем заряд q, который протекает при этом через каждое сечение контура. Мгновенное значение силы тока в контуре будет равно , откуда dq=idt=dt=

(знак «—» означает, что направление, в котором пере­носится dq, и направление d связаны правилом левого винта).Проинтегрировав это выражение, найдем полный заряд q= (4) Соотношение лежит в основе разработанного первоначально А. Г. Столетовым баллистического спо­соба измерения магнитной индукции, который заклю­чается в следующем. Поместим в интересующую нас точку поля небольшую катушку, имеющую N витков. Если катушку расположить так, чтобы вектор В ока­зался перпендикулярным к плоскости витков (рис. 5 а), то полный магнитный поток будет равен =nbs, где S — площадь одного витка, которая должна быть настолько малой, чтобы В в ее пределах можно было считать одной и той же.

Если повернуть катушку на 90° (рис. 56), поток через нее обратится в нуль (n перпендикулярна к В), т. е. изменяется на NBS. При повороте на 180° (рис. 5, в) изменение полного потока через катушку составит 2NBS, так как значение потока станет равным ₂ = — NBS (n и В направлены в противоположные стороны). Если поворот катушки осуществить достаточ­но быстро, в контуре будет иметь место кратковремен­ный импульс тока, при котором протекает заряд, равный согласно (3): (5) (при повороте катушки на 90° формула будет такой же, но без двойки). Заряд, протекающий по контуру при кратковремен­ном импульсе тока, можно измерить с помощью так называемого баллистического гальванометра, который пред­ставляет собой гальванометр с большим периодом собствен­ных колебаний. Измерив q и зная R, N и S, можно по фор­муле (5) найти В. Под R в этом случае подразумевается полное сопротивление цепи, включающее сопротивление катушки, подводящих проводов и гальванометра. Если q в формуле (5) выразить в кулонах, R — в омах, a S — в кв. метрах, то В получится в тесла. Вместо того чтобы поворачивать катушку, можно включать (либо выключать) исследуемое магнитное поле, или изменять его направление на обратное. Так, в частности, поступал А. Г. Столетов при исследовании кривой намагничения железа.

Для измерения В используют также то обстоятель­ство, что электрическое сопротивление висмута под дей­ствием магнитного поля сильно возрастает — при­мерно на 5% на каждую десятую долю тесла. Поэтому, помещая предварительнопроградуированную висмутовую спираль в магнитное поле и измеряя относительное изменение ее сопротивления, можно определить магнитную индукцию поля.

Явление самоиндукции.Электрический ток i, текущий в любом контуре, со­здает пронизывающий этот контур магнитный поток W. При изменениях i будет изменяться также W и, следо­вательно, в контуре будет индуцироваться э. д. с. Это явление называется самоиндукцией. ^ В соответствии с Законом Био—-Савара магнитная индукция В пропорциональна силе тока, вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что ток в контуре i и соз­даваемый им полный магнитный поток через контур друг другу пропорциональны: =Li Коэффициент пропорциональности L между силой тока и полным магнитным потоком называется индуктивностью контура (коэффициент самоиндукции).

Индуктивность L зависит от геометрии контура (т. е. его формы и размеров) и от магнитных свойств (от ) окружающей контур среды. Если контур жесткий и поблизости от него нет ферро­магнетиков, индуктивность L будет постоянной вели­чиной. За единицу индуктивности в СИ принимается индук­тивность такого проводника, у которого при силе тока в нем в 1 а возникает полный поток. , равный 1 вб. Эту единицу называют генри (гн).

При изменениях силы тока в контуре возникает э.д.с. самоиндукции , равная [см. формулу (3)]

(6)

Если L при изменениях силы тока остается постоян­ной (что возможно лишь при отсутствии ферромагнетиков), выражение для имеет вид= (7) это соотношение дает возможность определить индуктивность L как коэффициент пропорциональности между скоростью изменения силы тока в контуре и воз­никающей вследствие этого э. д. с. самоиндукции. Од­нако такое определение правильно лишь в случае, когда L = const. В присутствии ферромагнетиков L недеформируёмого контура будет функцией от i (через Н); следовательно, можно записать как Произведя такую подстановку в формуле (6), получим откуда видно, что при наличии ферромагнетиков коэф­фициент пропорциональности между и отнюдь не равен L. В случае, когда L = const, изменение силы тока со скоростью 1 a/сек в проводнике с L=1 гн приводит со­гласно (7) к возникновению S_s=1в.

Энергия магнитного поля.Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 6. Сна­чала замкнем соленоид L на батарею; в нем устано­вится ток i, который обусловит магнитное поле, сцеплен­ное с витками соленоида. Если, отключив соленоид от батареи, замкнуть его через сопротивление R, то в образовавшейся цепи будет некоторое время течь постепенно убывающий ток. Работа, совершаемая этим током за время dt, равна dA = _s dt = (8) Если индуктивность соленоида не зависит от i (L = const), то d = Ldi и выражение (8) принимает следующий вид: dА = — Lidi.

Проинтегрировав это выражение по i в пределах от первоначального значения i до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время, в течение которого происходит исчезновение магнитного поля:

А=-(9) Работа (9) идет на приращение внутренней энер­гии проводников, т. е. на их нагревание. Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружающем соленоид пространстве. Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит, остается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается работа (9). Таким образом, мы приходим к выводу, что проводник с индуктивностью L, по которому течет ток i, обладает энергией (10) которая локализована в возбуждаемом током магнит­ном поле

Заметим, что выражение (9) можно трактовать как ту работу, которую необходимо совершить против э. д. с. самоиндукции в процессе нарастания тока от 0 до i, и которая идет на создание магнитного поля, обла­дающего энергией (10). В самом деле, работа, совер­шаемая против э. д. с. самоиндукции, Произведя преобразования получим(11) что совпадает с (9). Работа (11) совершается при установлении тока за счет источника э. д. с. и идет це­ликом на создание сцепленного с контуром магнитного поля. Выражение (11) не учитывает той работы, ко­торую источник э.д. с. затрачивает в процессе установ­ления тока на нагревание проводников Выразим энергию магнитного поля (10) через величины, характеризующие само поле. В случае беско­нечного (практически очень длинного) соленоида L =, H=ni откуда i= Подставляя эти значения L и i в (10) и производя преобразования, получим W=(12) Т к магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия (12) заключена в пределах соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью , которую можно получить, разделив W на V. Произведя это деление, получим

Воспользовавшись соотношением Н=В/, формулу для плотности энергии магнитного поля можно записать следующим образом: Полученное нами выражение для плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный выражению для плотности энергии электрического поля, с тем лишь отличием, что электрические величины в нем заменены соответствующими магнитными. Если магнитное поле неоднородно, плотность энергии больше там, где больше Н и . Чтобы найти энергию магнитного поля, заключенную в некотором объеме V, нужно вычислить интеграл

Взаимная индукция.Возьмем два контура 1 и 2, расположенные друг от­носительно друга не очень далеко (рис. 7), Если в первом контуре течет ток силы i₁, он создает через другой контур пропорциональный i₁ полный поток ₂=L₂₁i₁ (поле, создающее этот поток, изображено на рисунке сплошными линиями).

При изменениях тока i_t во втором контуре индуцируется э. д. с. Аналогично, при протекании во втором контуре тока силы i₂ возникает связанный с первым контуром поток ₁= L₁₂i₂ (поле, создающее этот поток, изображено пунктирными линиями). При изменениях тока i₂ в контуре 1 индуцируется э. д. с. Контуры 1 и 2 называются связанными, а явление возникновения э. д. с. в одном из контуров при изменениях силы тока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорциональности L₁₂ и L₂₁ назы­ваются взаимной индуктивностью (или коэф­фициентом взаимной индукции) контуров. Эти коэффициенты всегда рав­ны друг другу: L_l2 = L_2l.

Взаимная индуктивность L₂₁ зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей контуры среды, Измеряется L₁₂ в тех же единицах, что и индуктивность L.