8. Уравнения Максвелла …

Открытие тока смещения позволило Максвеллу соз­дать единую теорию электрических и магнитных явле­ний. Эта теория объяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впослед­ствии.

Основу теории образуют уравнения Максвелла. В уче­нии об электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль, как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике.

Первую пару уравнений Максвелла образуют урав­нения:

Первое из этих уравнений связывает значения Е с временными изменениями вектора В и является по существу выражением закона электромагнитной индукции.

Второе уравнение отражает то свойство вектора В, что его линии замкнуты (или уходят в бесконечность).

Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравне­ния:

(под j здесь и в дальнейшем понимается плотность тока проводимости).

Первое уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смещения и порождаемым ими магнит­ным полем. Второе показывает, что линии вектора D мо­гут начинаться и оканчиваться на зарядах.

Уравнения (108.1) - (108.4) представляют собой урав­нения Максвелла в интегральной форме. Они связывают значения Е или Н вдоль некоторого контура со значения­ми В (соответственно D) в точках опирающейся на кон­тур поверхности.

Применим теорему Стокса к левой части формулы (108.1), взяв в качестве поверхности, по кото­рой производится интегрирование функции (rot E)_n, ту же поверхность, по которой берется интеграл в правой части. Тогда уравнение (108.1) примет вид:

Оба интеграла берутся по одной и той же поверх­ности. Поэтому полученное равенство можно написать следующим образом:

Это равенство должно выполняться для произвольно выбранной поверхности интегрирования S,что, очевидно,

возможно лишь в том случае, если подынтегральное вы­ражение в любой точке пространства для произвольно ориентированной площадки dS будет равно нулю. Таким образом, мы приходим к выводу, что в каждой точке пространства выполняется равенство: .

Применив теорему Стокса к формуле (108.3) и повто­рив те же самые рассуждения, найдем, что:

Теперь применим теорему Остроградского — Гаусса к левой части формулы (108.4). В резуль­тате получим уравнение:.

При произвольном выборе объема, по которому про­изводится интегрирование, полученное соотношение мо­жет выполняться лишь при условии, что подынтеграль­ные выражения в обеих частях имеют в каждой точке пространства одинаковые значения, т. е. .

Применение теоремы Остроградского — Гаусса к фор­муле (108.2) дает:

Итак, в дифференциальной форме уравнения Макс­велла выглядят следующим образом:

При решении этих уравнений используется то обстоя­тельство, что между входящими в них величинами имеются соотношения:

Совокупность семи уравнений (108.5) - (108.11) об­разует основу электродинамики покоящихся сред.

Спроектировав уравнения (108.5) и (108.7) на коор­динатные оси, получим вместо каждого из векторных уравнений три скалярных.

Уравнения (108.6) и (108.8) можно написать в ска­лярном виде:

В гауссовой системе уравнения Максвелла имеют вид:

Волновое уравнение. Переменное электрическое поле порождает магнитное, которое, во­обще говоря, тоже оказывается переменным. Это пе­ременное магнитное поле порождает электрическое поле и т. д. Таким образом, если возбудить с помощью заря­дов переменное электрическое или магнитное поле, в окружающем пространстве возникнет последователь­ность взаимных превращений электрического и магнит­ного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во времени и в простран­стве и, следовательно, представляет собой волну. Вывод о возможности существования электромагнитных волн вытекает, как мы сейчас покажем, из уравнений Макс­велла.

Напишем уравнения Максвелла для однородной ней­тральной (r = 0) непроводящей (j = 0) среды с постоян­ными проницаемостями e и m. В этом случае:

Следовательно, уравнения (108.5) - (108.8) имеют вид:

, ,

Применим к уравнению (109.1) операцию rot

Символ rot означает дифференцирование по коорди­натам.

Произведя в уравнении (109.5) эту замену и подставив в получившееся выражение значение (109.3) для rot H, получим

Применив операцию rot к уравнению (109.3) и произ­ведя аналогичные преобразования, придем к уравнению

. При условии, выражаемом уравнением (109.4), первый член этого равенства обращается в нуль. Следовательно, левая часть формулы (109.6) может быть записана в виде —. Опустив в получающейся формуле знак минус слева и справа, придем к уравнению

или, расписав ,

Сходным образом уравнение (109.7) можно преобра­зовать к виду

Заметим, что уравнения (109.8) и (109.9) неразрывно связаны друг с другом, так как они получены из уравне­ний (109.1) и (109.3), каждое из которых содержит и Е и Н.

Уравнение вида

представляет собой волновое уравнение [см. т. I, § 80)]. Всякая функция, удовлетворяющая такому уравнению, описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при дает фа­зовую скорость этой волны. Таким образом, уравнения (109.8) и (109.9) указывают на то, что электромагнит­ные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

Для вакуума по этой формуле получается

.

Таким образом, в вакууме фазовая скорость электро­магнитных волн совпадает со скоростью света.

В гауссовой системе