Плоская электромагнитная волна.

Исследуем плоскую электромагнитную волну, распро­страняющуюся в однородной непроводящей среде (r = 0, j = 0, D = ee₀E, В = mm₀Н, e и m, — постоянные). Напра­вим ось x перпендикулярно к волновым поверхностям.

,

Первое из уравнений (110.2) и уравнение (110.4) по­казывают, что Е_x не может зависеть ни от t, ни от х. Пер­вое из уравнений (110.1) и уравнение (110.3) дают тот же результат для Н_x. Таким образом, отличные от нуля Е_x и Н_x могут быть обусловлены лишь постоянными од­нородными полями, накладывающимися на электромаг­нитное поле волны. Само поле волны не имеет состав­ляющих вдоль оси x, т. е. векторы Е и Н перпендику­лярны к направлению распространения волны - элек­тромагнитные волны поперечны. В дальнейшем мы бу­дем предполагать постоянные поля отсутствующими и полагать Е_x = Н_x = 0.

Два последних уравнения (110.1) и два последних уравнения (110.2) можно объединить в две независимые

группы:

Первая группа уравнений связывает составляющие Е_y и H_z, вторая — E_z и Н_y. Предположим, что первоначально было создано переменное электрическое поле Е_y, на­правленное вдоль оси у.

Возьмем для описания волны уравнения (110.5), по­ложив E_z = Н_y = 0. Продифференцируем первое уравнение по х и произведем замену: . Подставив затем из второго уравнения, получим волно­вое уравнение для Е_y:

Продифференцировав по x второе уравнение (110.5), найдем после аналогичных преобразований волновое уравнение для H_z:

Напомним, что остальные составляющие Е и Н равны нулю, так что Е = Е_y и Н = Н_z. Мы сохранили в уравне­ниях (110.7) и (110.8) индексы у и z при Е и Н для того, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что векторы Е и Н направлены по взаимно перпендикулярным осям у и z,

Уравнения (110.7) и (110.8) представляют собой част­ный случай уравнений (109.8) и (109.9). Простейшим решением уравнения (110.7) будет функция

Решение уравнения (110,8) имеет аналогичный вид

В этих формулах w - частота волны, k - волновое число, равное w/v, a₁ и a₂ - начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0.

Подставим функции (110.9) и (110.10) в уравнения (110.5):

Для того чтобы уравнения удовлетворялись, необхо­димо равенство начальных фаз a₁ и a₂. Кроме того, должны соблюдаться соотношения:

Перемножив эти два равенства, находим, что

Таким образом, колебания электрического и магнит­ного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой (a₁ = a₂), а амплитуды этих векторов связаны соотношением

Из формулы (110.11) вытекает, что между значениями Е_m и Н_m для волны, распространяющейся в пустоте, имеется соотношение

В гауссовой системе формула (110.11) имеет вид

Следовательно, в пустоте Е_m = Н_m (Е_m измеряется в СГСЭ - единицах, Н_m — в СГСМ - единицах).

Умножив уравнение (110.9) на орт оси y (E_yj = Е), а уравнение (110.10) на орт оси z (H_zk = H), получим уравнения плоской электромагнитной волны в векторном виде:

(мы положили a₁ = a₂ = 0).

Энергия электромагнитного поля. Плотность энергии электромагнитного поля w сла­гается из плотности энергии электрического поля и плотности энергии магнит­ного поля:

В данной точке пространства векторы Е и Н изме­няются в одинаковой фазе. Поэтому соотношение (110.11) между амплитудными значениями Е и Н спра­ведливо и для их мгновенных значений.

Воспользовавшись тем, что выраже­нию для плотности энергии электромагнитной волны можно придать вид

В соответствии с формулой (109.10) скорость элек­тромагнитной волны равна Умножив плотность энергии w на скорость v, получим плотность по­тока энергии

Векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему. Поэтому направление вектора [ЕН] совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен EH (sin a = 1). Следовательно, вектор плотности потока энергии можно представить как векторное произ­ведение Е и Н

Вектор S называется вектором Пойнтинга. В гауссовой системе выражение для S имеет вид

Поток энергии Ф_w,, т. е. количество энергии, переноси­мое волной в единицу времени через некоторую поверх­ность S, равен

(здесь S_n - нормальная составляющая вектора S; dS — элемент поверхности S).

Импульс электромагнитного поля

Падая на какое-либо тело, электромагнитная волна должна оказывать на него давление. Происхождение этого давления легко пояснить на примере проводящего тела (s ? 0). Пусть плоская волна падает по нормали на плоскую поверхность тела. Электрический вектор волны возбуждает в теле ток плотности j = sЕ.

Направление этой силы совпа­дает с направлением распространения волны.

Согласно вычислению Максвелла в случае, когда тело полностью поглощает падающую на него энергию, дав­ление равно среднему (по времени) значению плотности энергии в падающей волне:

Если тело отражает волну, посылая в обратном на­правлении волну интенсивности S = kS₀ (S₀.— интенсив­ность, т. е. плотность потока энергии падающей волны, k —. коэффициент отражения), то давление равно

где w — среднее значение плот­ности энергии падающей волны. Для идеально отражающего тела k = 1 и р = 2w.

Из того факта, что электро­магнитная волна оказывает давление, вытекает, что поле электромагнитной волны обладает импульсом. Вычисления дают для импульса единицы объема (плотности импульса) поля в пустоте значение

Наличие импульса заставляет приписать электромаг­нитному полю массу, связанную с импульсом соотноше­нием K = mс (поле в вакууме распространяется со скоростью с). Разделив модуль выражения (113.3) на с, получим массу единицы объема поля

Выражение EH/c дает плотность энергии поля w. Следовательно, можно написать, что

Полученное нами соотношение является частным случаем вытекающего из теории относительности

соотношения между массой и энергией:

согласно которому всякое изменение энергии системы (под которой понимается совокупность тел и полей) связано с изменением ее массы и, наоборот, изменение мас­сы системы влечет за собой изменение ее энергии.