3.1.2. СВЕТОВАЯ ВОЛНА НА ГРАНИЦЕ ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВ

Отражение и преломление волнового вектора на границе двух диэлектриков, даёт плоская электромагнитная волна, которая попадает на плоскую границу раздела двух однородных и изотропных диэлектриков с проницаемостями и .

, (3.1.4 )

где и - тангенциальные составляющие напряжённости электрического поля в первой и во второй среде соответственно.

Согласно уравнению (3.1.4 ), циркуляция в случае переменных полей равна интегралу . Поскольку конечно, при предельном переходе интеграл в правой части обращается в нуль.

Пусть вектор , определяющий направление распространения падающей волны, лежит в плоскости чертежа (рис.3.1.2). Направ­ление нормали к поверхности раздела охарактеризуем вектором . Плоскость, в которой лежат векторы и , называется плоскостью падения волны. Возьмем линию пересечения плоско­сти падения с границей раздела диэлектриков в качестве оси . Ось направим перпендикулярно к плоскости раздела диэлектри­ков. Тогда ось будет перпендикулярна к плоскости падения, а вектор окажется направленным вдоль оси (рис.3.1.2). Из соображений симметрии ясно, что век­торы и могут лежать лишь в плоскости падения (среды однородны и изотропны).

Выделим из естественного падающего луча, плоско поляризованную составляющую, в которой направление колебаний векто­ра образует с плоскостью падения произвольный угол. Колеба­ния вектора в плоской электромагнитной волне, распространяю­щейся в направлении вектора , описываются функцией

(при сделанном нами выборе осей координат проекция вектора на ось равна нулю, поэтому в показателе экспоненты отсутствует слагаемое ).

Напряженности в отраженной и преломленной волнах опреде­ляются аналогичными выражениями:

,

( и - начальные фазы соответствующих волн).

Результирующее поле в первой среде равно

.

Во второй среде

.

Согласно ( 3.1.4 ) тангенциальные составляющие этих выражений на поверхности раздела, т. е. при , должны быть одинаковыми, тогда

. (3.1.5 )

Для того чтобы условие ( 3.1.5 ) выполнялось при любом , не­обходимо равенство всех частот:

.

Частоты отраженной и преломленной волн совпадают с частотой падающей волны.

Для того чтобы условие ( 3.1.5 ) выполнялось при любом , необходимо равенство проекций волновых векторов на ось :

. ( 3.1.6 )

Показанные на рис. 3.1.2 углы _и называются углом падения, углом отражения и углом преломления.

.

Векторы и имеют одинаковый модуль, равный ; модуль вектора равен . Следовательно,

.

Отсюда вытекает, что

, ( 3.1.7 )

. ( 3.1.8 )

Полученные нами соотношения выполняются для любой плоско поляризованной составляющей естественного луча. Следовательно, они справедливы и для естественного луча в целом.

Соотношение ( 3.1.7 ) выражает закон отражения света, согласно которому отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; угол отражения равен углу падения.

Соотношение ( 3.1.8 ) выражает закон преломления света, который формулируется следующим образом: преломлен­ный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных веществ.

Величина называется относительным показателем преломления второго ве­щества по отношению к первому. Представим эту величину в виде

.

Таким образом, относительный показатель преломления двух ве­ществ равен отношению их абсолютных показателей преломления.

Заменив в формуле отношением , можно представить закон преломления в виде

.

Из этой формулы видно, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч удаляется от нор­мали к поверхности раздела сред. Увеличение угла падения со­провождается более быстрым ростом угла преломления , и по достижении углом значения

угол становится равным . Угол, определяемый формулой, называется предельным углом.

Энергия, которую несет с собой падающий луч, распределяется между отраженным и преломленным лучами. По мере увеличения угла падения интенсивность отраженного луча растет, интенсивность же преломленного луча убывает, обращаясь в нуль при предельном угле. При углах падения, заключенных в пределах от до , световая волна проникает во вторую среду на расстояние порядка длины волны и затем возвращается в первую среду.

Найдем соотношения между амплитудами и фазами падающей, отраженной и преломленной волн. Ограничимся случаем нормального падения плоской волны на поверхность раздела однородных и изотропных диэлектриков с показателями преломления и . Обозначим электрическую составляющую в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно через , и , а магнитную составляющую через , и .

Из соображений симметрии следует, что колебания векторов и происходят вдоль того же направления, что и колебания вектора . Аналогично колебания векторов и происходят вдоль направления вектора .

В данном случае нормальные составляющие векторов и равны нулю. Поэтому тангенциальные составляющие этих векторов совпадают с самими векторами. На рис. 3 изображены мгновенные значения векторов и в падающей, отраженной и преломленной волнах. На рисунке показаны так­же орты , и направлений, вдоль которых распространяются соответствующие волны. Рисунок выполнен в предположении, что ( ) направления векторов и оди­наковы, а векторов и проти­воположны (в этом случае векто­ры , и направлены за чер­теж). Действительные соотноше­ния между направлениями векторов определятся расчетом. Модули векторов и связаны соотношением _. Тройка вектора , , образует правовинтовую систему:

. ( 3.1.19 )

Аналогичные соотношения имеют место и для векторов в отраженной и преломленной волнах.

Условия непрерывности тангенциальных составляю­щих векторов и

, ( 3.1.20 )

. ( 3.1.21 )

Значения векторов берутся в непосредственной близости к границе раздела. Заменив в ( 3.1.21 ) векторы векторами получим (после сокращения на )

.

Учтя, что , преобразуем последнее соотношение

.

Отсюда

.

Векторы и взаимно перпендикулярны, тогда

. ( 3.1.22 )

Решив совместно уравнения ( 3.1.20 ) и ( 3.1.22 ), получим

, ( 3.1.23)

. ( 3.1.24 )

Из формулы ( 3.1.24 ) вытекает, что векторы и имеют в каждый момент времени одинаковое направление, колебания в падающей и в прошедшей во вторую среду волнах происходят на границе раздела в одинаковой фазе – при прохождение волны через эту границу фаза не претерпевает скачка.

Из формулы ( 3.1.23 ) вытекает, что при направление вектора совпадает с направлением вектора , колебания в падающей и отраженной волнах происходят на гра­нице раздела в одинаковой фазе – фаза волны при отражении не изменяется. Если же , то направление вектора противо­положно направлению , колебания в падающей и отраженной волнах происходят на границе раздела в противофазе - фаза волны при отражении изменяется скачком на . По­лученный результат справедлив и при наклонном падении волны на границу раздела двух прозрачных сред.

Итак, при отражении световой волны от границы раздела среды оптически менее плотной со средой оптически более плотной ( при ) фаза колебаний светового вектора претерпевает изменение на . При отражении от границы раздела среды оптически более плотной со средой оптически менее плотной ( при ) такого изменения фазы не происходит.

Подставив в выражение значения ( 3.1.22 ) и ( 3.1.23 ) для и , придем после несложных преобразований к соотношению

.

Это соотношение получено для мгновенных значений . Аналогич­ное соотношение имеет место и для амплитудных значений свето­вого вектора:

. ( 3.1.25 )

можно трактовать как величину, пропорциональную интенсивности падающей волны, - как величину, пропорциональную интенсивности отраженной волны, - как величину, пропорциональную интенсивности преломленной волны. Таким образом, соотношение ( 3.1.25 ) выражает закон сохранения энергии.

Полученные соотношения позволяют найти коэффициент отражения и коэффициент пропускания световой волны (для случая нормального падения на границу раз­дела двух прозрачных сред). Действительно, по определению

.

Подставив в это выражение отношение полученное из ( 3.2.23 ), придем к формуле

, ( 3.1.26 )

где - показатель преломления второй среды по отно­шению к первой.

Для коэффициента пропускания получается выражение

.

Сумма , как и должно быть, равна единице.

Отметим, что замена в формуле ( 3.1.26 ) на обратную ему величину не изменяет значения . Следовательно, коэффициент отражения поверхности раздела двух данных сред для обоих направлений распространения света имеет одинаковое значение.