3.3.3. Дифракция сферических волн ( дифракция Френеля)

Дифракция от круглого отверстия.

Поставим на пути сферической световой волны непрозрачный экран с вырезанным в нем круглым отверстием радиуса .

Расположим экран так, чтобы перпендикуляр, опущенный из источника света , попал в центр отверстия (рис.3.3.6).

На продолжении этого перпендикуляра возьмем точку .

При радиусе отверстия , значительно меньшем, чем указанные на рисунке длины и :

- длину можно считать равной расстоянию от источника до преграды,

- длину - расстоянию от преграды до точки .

Если расстояния и удовлетворяют соотношению

,

где - целое число,

то отверстие оставит открытыми ровно первых зон Френеля, построенных для точки .

Следовательно, число открытых зон Френеля определяется выражением

.

Амплитуда в точке будет равна

.

Перед берется знак

плюс, если нечетное, минус, если четное.

Положив выражения в скобках равными нулю, придем к формулам

( - нечетное),

( - четное).

Амплитуды от двух соседних зон практически одинаковы.

Поэтому можно заменить через . В результате получится

,

где знак плюс берется для нечетных и минус - для четных.

Для малых амплитуда мало отличается от .

Следовательно, при нечетных амплитуда в точке будет приближенно равна , при четных - нулю.

Если убрать преграду, амплитуда в точке станет равной .

Таким образом, преграда с отверстием, открывающим небольшое нечетное число зон:

· не ослабляет освещенность в точке ,

· приводит к увеличению амплитуды почти в два раза, а интенсивности - почти в четыре раза.

Выясним характер дифракционной картины, которая будет наблюдаться на экране, помещенном за преградой (см. рис.3.3.6).

Вследствие симметричного расположения отверстия относительно прямой освещенность в разных точках экрана будет зависеть только от расстояния от точки :

В самой этой точке интенсивность будет достигать максимума или минимума в зависимости от того, каким - четным или нечетным - будет число открытых зон Френеля.

Пусть, например, это число равно трем.

· Тогда в центре дифракционной картины получится максимум интенсивности. Картина зон Френеля для точки дана на рис. 3.3.7, а.

· Теперь сместимся по экрану в точку . Ограниченная краями отверстия картина зон Френеля для точки имеет вид, показанный на рис. 3.3.7, б. :

Края отверстия закроют часть третьей зоны, одновременно частично откроется четвертая зона. В итоге интенсивность света уменьшится и при некотором положении точки достигнет минимума.

· Если сместиться по экрану в точку , края отверстия частично закроют не только третью, но и вторую зону Френеля, одновременно откроется частично пятая зона (рис. 3.3.7, в). В итоге действие открытых участков нечетных зон перевесит действие открытых участков четных зон, и интенсивность достигнет максимума, правда, более слабого, чем максимум, наблюдающийся в точке .

Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия имеет вид чередующихся светлых и темных концентрических колец.

В центре картины будет

· либо светлое ( нечетное),

· либо темное ( четное) пятно.

Ход интенсивности с расстоянием от центра картины изображен

· на рис. 3.3.6,б (для нечетного )

· на рис. 3.3.6, в (для четного ).

При перемещении экрана параллельно самому себе вдоль прямой картины, изображенной на рис.3.3.7, будут сменять друг друга (при изменении значение становится то нечетным, то четным).

Если отверстие открывает

· лишь часть центральной зоны Френеля, на экране получается размытое светлое пятно; чередования светлых и темных колец в этом случае не возникает.

· большое число зон, чередование светлых и темных колец наблюдается лишь в очень узкой области на границе геометрической тени; внутри этой области освещенность оказывается практически постоянной.

Дифракция от круглого диска.

Поместим между источником света и точкой наблюдения непрозрачный круглый диск радиуса (рис.3.3.8).

Если диск закроет первых зон Френеля, амплитуда в точке будет равна

Выражения, стоящие в скобках, можно положить равными нулю, следовательно,

.

Выясним характер картины, получающейся на экране (см. рис.3.3.8). Освещенность может зависеть только от расстояния до точки .

При небольшом числе закрытых зон амплитуда мало отличается от .

· Поэтому интенсивность в точке будет почти такая же, как при отсутствии преграды между источником и точкой .

· Для точки , смещенной относительно точки в любом радиальном направлении, диск будет перекрывать часть -й зоны Френеля, одновременно откроется часть -й зоны. Это вызовет уменьшение интенсивности. При некотором положении точки интенсивность достигнет минимума.

· Если сместиться из центра картины еще дальше, диск перекроет дополнительно часть -й зоны, одновременно откроется часть -й зоны. В результате интенсивность возрастет и в точке достигнет максимума.

Таким образом, в случае непрозрачного круглого диска дифракционная картина имеет вид

- чередующихся светлых и темных концентрических колец.

- в центре картины помещается светлое пятно.

Изменение интенсивности света с расстоянием от точки изображено на рис.3.3.8, б:

Если диск закрывает

· лишь небольшую часть центральной зоны Френеля, он совсем не отбрасывает тени - освещенность экрана всюду остается такой же, как при отсутствии преград.

· закрывает много зон Френеля, чередование светлых и темных колец наблюдается только в узкой области на границе геометрической тени. В этом случае , так что светлое пятно в центре отсутствует, и освещенность в области геометрической тени практически всюду равна нулю.