3.1.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

Длины воспринимаемых глазом световых волн очень малы (по­рядка м). Поэтому распространение видимого света можно в первом приближении рассматривать, отвлекаясь от его волновой природы и полагая, что свет распространяется вдоль некоторых линий, называемых лучами.

Основу геометрической оптики образуют четыре закона: 1) за­кон прямолинейного распространения света; 2) закон независимости световых лучей; 3) закон отражения света; 4) закон прелом­ления света.

Закон прямолинейного распространения утверждает, что в однородной среде свет распространяется прямо­линейно. Этот закон является приближенным: при прохождении света через очень малые отверстия наблюдаются отклонения от прямолинейности, тем большие, чем меньше отверстие.

Закон независимости световых лучей утверж­дает, что лучи при пересечении не возмущают друг друга. Пере­сечения лучей не мешают каждому из них распространяться независимо друг от друга. Этот закон справедлив лишь при не слиш­ком больших интенсивностях света. При интенсивностях, дости­гаемых с помощью лазеров, независимость световых лучей перестает соблюдаться.

Законы отражения и преломления света были сформулированы ранее.

В основу геометрической оптики может быть положен принцип Ферма: свет рас­пространяется по такому пути, для прохож­дения которого ему требуется минимальное время.

Для прохождения участка пути ( рис.3.1.4 ) свету требуется время , где - скорость света в данной точке среды.

.

называется оптической длиной пути. В однородной среде оптическая длина пути равна произведению геометрической длины пути на показатель преломления среды : .

Отсюда .

Пропорциональность времени прохождения оптической длине пути дает возможность сформулировать принцип Ферма следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна. Точнее, оптическая длина пути долж­на быть экстремальной, т. е. либо минимальной, либо максималь­ной, либо стационарной - одинаковой для всех возможных путей. В последнем случае все пути света между двумя точками оказыва­ются таутохронными (требующими для своего прохожде­ния одинакового времени).

Из принципа Ферма вытекает обратимость световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален в случае распространения света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света в обратном направлении.

( - длина волны в вакууме).

Совокупность лучей образует пучок. Если лучи при своем про­должении пересекаются в одной точке, пучок называется гомо­центрическим. Гомоцентрическому пучку лучей соответствует сфе­рическая волновая поверхность. На рис. 3.1. 5, а) показан сходя­щийся, а на рис.3.1. 5, б) - расходящийся гомоцентрический пучок. Частным случаем гомоцентрического пучка является пучок параллельных лучей; ему соответствует плоская световая волна.

Всякая оптическая система осуществляет преобразование све­товых пучков. Если система не нарушает гомоцентричности пуч­ков, то лучи, вышедшие из точки , пересекутся в одной точке . Эта точка представляет собой оптическое изображение точки . Если любая точка предмета изображается в виде точки, изображение называется точечным или стигматическим.

Изображение называется действительным, если свето­вые лучи в точке действительно пересекаются (см. рис. 3.1. 5, а), и мнимым, если в пересекаются продолжения лучей, прове­денные в направлении, обратном на­правлению распространения света (.

Вследствие обратимости световых лучей источник света и изображение могут поменяться ролями - точеч­ный источник, помещенный в , будет иметь свое изображение в . По этой причине и называются сопряженными точками. Рис. 3.1. 5.

Оптическая система, которая дает стигматическое изображе­ние, геометрически подобное отображаемому предмету, называет­ся идеальной. С помощью такой системы пространственная непрерывность точек отображается в виде пространственной непрерывности точек . Первая непрерывность точек называется пространством предметов, вторая — простран­ством изображений. В обоих пространствах точки, пря­мые и плоскости однозначно соответствуют друг другу. Такое со­отношение двух пространств называется в геометрии коллинеарным соответствием.

Оптическая система представляет собой совокупность отражаю­щих и преломляющих поверхностей, отделяющих друг от друга оптически однородные среды. Обычно эти поверхности бывают сфе­рическими или плоскими (плоскость можно рассматривать как сферу бесконечного радиуса).

Оптическая система, образованная сферическими (в частности, плоскими) поверхностями, называется центрированной, если центры всех поверхностей лежат на одной прямой. Эту пря­мую называют оптической осью системы.

Каждой точке или плоскости в пространстве предметов со­ответствует сопряженная с ней точка плоскость в про­странстве изображений.

Фокальные плоскости и фокусы оптической системы. На рис. 3.1.6. показаны внешние преломляющие поверхности и опти­ческая ось некоторой идеальной центрированной оптической си­стемы. Возьмем в пространстве предметов этой системы плоскость , перпендикулярную к оптической оси. Из соображений симметрии следует, что сопряженная с плоскость также перпендикулярна к оптической оси. Переме­щение плоскости относи­тельно системы вызовет соответствующее перемеще­ние плоскости . Когда плоскость окажется очень далеко, дальнейшее увели­чение ее расстояния от сис­темы практически не вызы­вает изменения положения плоскости . Это означает, что результате удаления плоскости на бесконечность плоскость оказывается в определенном пре­дельном положении .

Кратко можно сказать, что задней фокальной плоскостью называется плоскость, сопря­женная с находящейся на бесконечности в пространстве предме­тов плоскостью , перпендикулярной к оси системы.

Точка пересечения задней фокальной плоскости с оптической осью называется задним фокусом системы. Обозначают ее также буквой . Эта точка сопряжена с удаленной на бесконеч­ность точкой , лежащей на оси системы. Лучи, выходящие из , образуют параллельный оси пучок (рис. 3.1.6.). По выходе из системы эти лучи образуют пучок, сходящийся в фокусе . Упавший на систему параллельный пучок может выйти из системы не в виде сходящегося (как на рис. 3.1.6.), а в виде расходящегося пучка. Тогда в точке будут пересекаться не сами вышедший лучи, а их продолжения в обратном направлении. Соответственно задняя фокальная плоскость окажется перед (по ходу лучей) си­стемой или внутри системы.

Лучи, вышедшие из бесконечно удаленной точки не лежа­щей на оси системы, образуют параллельный пучок, направленный под углом к оси системы. По выходе из системы эти лучи образуют пучок, сходящийся в точке , принадлежащей задней фокальной плоскости, но не совпадающей с фокусом (точка на рис. 3.1. 6.). Тогда изображение бесконечно удаленного предмета будет лежать в фокальной плоскости.

Если удалить на бесконечность перпендикулярную к оси пло­скость (рис. 3.1. 7.), сопряженная с ней плоскость придет в предельное положение , которое называется передней фо­кальной плоскостью системы. Кратко можно сказать, что передней фокальной плоскостью является плоскость, сопря­женная с находящейся на бесконечности в пространст­ве изображений плоскостью перпендикулярной к оси системы.

Точка пересечения перед­ней фокальной плоскости с оптической осью называет­ся передним фокусом системы. Обозначают этот фокус также буквой . Лучи, вышедшие из фокуса , образуют после выхода из системы пучок параллельных оси лучей. Лучи, вышедшие из точки , принадлежащей фокальной плоско­сти ( рис. 3.1. 7.), образуют после прохождения через систему параллельный пучок, направленный под углом к оси системы. Мо­жет случиться, что параллельный по выходе из системы пучок получается при падении на систему не расходящегося (как на рис. 3.1. 7.), а сходящегося пучка лучей. В этом случае передний фокус оказывается за системой или внутри системы.

Главные плоскости и точки. Рассмотрим две сопряженные пло­скости, перпендикулярные к оптической оси системы. Отрезок пря­мой (рис. 3.1. 8.) лежащий в одной из этих плоскостей, будет иметь своим изображением отрезок прямой , лежащий в другой плоскости. Из осевой симметрии системы вытекает, что отрезки и должны лежать в одной, проходящей через оптическую ось, плоскости (в плоскости рисунка). При этом изображение может быть обращено либо в ту же сторону, что и предмет (рис. 8, а), либо в противоположную сторону (см. рис. 3.1. 8, б). В первом случае изображение называется прямым, во втором - обратным. Отрезки, откладываемые от оптической оси вверх, принято считать положительными, откладываемые вниз – отрицательными.

Отношение линейных размеров изображения и предмета назы­вается линейным или поперечным увеличением. Обо­значив его буквой , можно написать

.

Линейное увеличение - алгебраическая величина. Оно положи­тельно, если изображение прямое (знаки и одинаковы), и отрицательно, если изображение обратное (знак противоположен знаку ).

Существуют две такие сопряженные пло­скости, которые отображают друг друга с линейным увеличением . Эти плоскости называются главными. Плоскость, принадлежащая пространству предметов, именуется передней главной плоскостью системы. Ее обозначают буквой . Плоскость, принадлежащую пространству изображений, именуют задней главной плоскостью. Ее обозначают симво­лом . Точки пересечения главных плоскостей с оптической осью называются главными точками системы (соответственно передней и задней). Их обозначают теми же символами и . В зависимости от устройства системы главные плоскости и точки могут находиться как вне, так и внутри системы. Может случиться, что одна из плоскостей проходит вне, а другая - внутри системы. Возможно, наконец, что обе плоскости будут лежать вне системы по одну и ту же сторону от нее.

Из определения главных плоскостей вытекает, что луч 1, пересекающий (в действительности – рис. 3.1.9, а или при воображаемом продолжении

внутри системы – рис. 3.1. 9, б) переднюю главную плоскость в точке , имеет в качестве сопряженного луч 1', который пересекает (непосредственно или при воображаемом продолжении) главную плоскость в точке , отстоящей в ту же сторону и на такое же расстояние от оси, как и точка . Это легко понять, если вспомнить, что и являются сопряжен­ными точками, и учесть, что любой луч, проходящий через точку , должен иметь в качестве сопряженного луч, проходящий через точку .

Узловые плоскости и точки. Узловыми точками или узлами называются лежащие на оптической оси сопряженные точки и обладающие тем свойством, что проходящие через них (в действитель­ности или при воображаемом продолже­нии внутрь системы) сопряженные лучи параллельны между собой (см. лучи 1 – 1' и 2 – 2' на рис. 3.1. 10). Перпендикулярные к оси плоскости, проходящие через узлы, называются узловыми плоскостя­ми (передней и задней).

Расстояние между узлами всегда равно расстоянию между главными точками. В случае, когда оптические свойства сред, на­ходящихся по обе стороны системы, одинаковы (т. е. ), узлы совпадают с главными точками.

Фокусные расстояния и оптическая сила системы. Расстояние от передней главной точки до переднего фокуса называется передним фокусным расстоянием системы. Рас­стояние от до именуется задним фокусным расстоянием . Фокусные расстояния и - алгебраические величины. Они положительны, если данный фокус лежит справа от соответствующей главной точки, и отрицательны в противном случае. Например, для системы, изображенной на рис. 3.1. 7, заднее фокусное расстояние положительно, а переднее фокусное расстояние отрицательно. На рисунке указана истинная длина отрезка , т. е. положительная величина (-), равная модулю .

Можно доказать, что между фокусными расстояниями и центрированной оптической системы, образованной сферическими преломляющими поверхностями, имеется соотношение

,

где - показатель преломления среды, находящейся перед опти­ческой системой, - показатель преломления среды, находящейся за системой. Из этого вытекает, что в случае, когда показатели преломления сред, находящихся по обе стороны оптической системы, одинаковы, фокусные расстояния отличаются только знаком:

.

Величина

называется оптической силой системы. Чем больше , тем меньше фокусное расстояние и, следовательно, тем сильнее преломляются лучи оптической системой. Оптическая сила изме­ряется в диоптриях (дптр). Чтобы получить в диоптриях, фокусное расстояние в последней формуле нужно взять в метрах. При положительной заднее фокусное расстояние также поло­жительно; следовательно, система дает действительное изображе­ние бесконечно удаленной точки - параллельный пучок лучей превращается в сходящийся. В этом случае система называется собирающей. При отрицательной изображение бесконеч­но удаленной точки будет мнимым - параллельный пучок лучей превращается системой в расходящийся. Такая система именуется рассеивающей.

Формула системы. Задание кардинальных плоскостей или то­чек полностью определяет свойства оптической системы. В частно­сти, зная положение кардинальных плоскостей, можно построить оптическое изображение, даваемое системой. Возьмем в простран­стве предметов отрезок , перпендикулярный к оптической оси (рис. 3.1. 11; узлы на рисунке не показаны). Положение этого отрезка можно задать либо расстоянием , отсчитанным от точки до точки , либо расстоянием от до . Величины и , как и фокусные расстояния и являются алгебраическими (на рисун­ках указываются их модули).

Проведем из точки луч 1, параллельный оптической оси. Он пересечет плоскость в точке . В соответствии со свойствами главных плоскостей сопряженный лучу 1 луч 1' должен проходить через сопряженную с точкой точку плоскости . Так как луч 1 параллелен оптической оси, сопряженный с ним луч 1' пройдет через задний фокус . Теперь проведем из точки луч 2, проходящий через передний фокус . Он пересечет плоскость в точке . Сопряженный с ним луч 2' пройдет через сопряженную с точку плоскости и будет параллельным оптической оси. Точка пе­ресечения лучей 1' и 2' представляет собой изображение точки . Изображение , как и отрезок , перпендикулярно к оптиче­ской оси.

Положение изображения можно охарактеризовать либо расстоянием от точки до точки , либо расстоянием от до . Величины и являются алгебраическими. В случае, изображенном на рис. 3.1. 11, они положительны.

Величина , определяющая положение изображения, законо­мерно связана с величиной , определяющей положение предмета, и с фокусными расстояниями и . Для прямоугольных треуголь­ников с общей вершиной в точке (рис. 3.1. 11) можно написать соотношение

.

Аналогично, для треугольников с общей вершиной в точке имеем

.

Объединив оба соотношения, получим что , откуда

. (3.1.27)

Это равенство называется формулой Ньютона. При условии, что , формула Ньютона имеет вид

. (3.1. 28 )

От формулы, связывающей расстояния и предмета и изображения от фокусов системы, легко перейти к формуле, устанавливающей связь между расстояниями и от главных точек. Из рис. 3.1. 11 видно, что (т. е. ), . Подставив эти выражения для и в формулу ( 14 ) и произведя преобразования, получим

. (3.1. 29 )

При выполнении условия формула (3.1.29 ) упрощается следующим образом:

. ( 3.1.30 )

Соотношения ( 3.1.27 ) – ( 3.1.30 ) представляют собой формулы центрированной оптической системы.