Вынужденные одномерные колебания при наличии сопротивления

Рассмотрим систему, которая может совершать свободные колебания с час­тотой , на которую действует внешняя возмущающая сила F(t) и учитывается сопротивление движению, пропорциональное скорости: .

Уравнение движения можно записать в следующей форме:

Пусть внешняя сила F(t) зависит от времени t по гармоническому закону, тогда

- НЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами

Общее решение:

где - решение ОЛДУ, - частное решение НЛДУ

Решение ОЛДУ:

при : , где

(см. №14 – затухающие колебания)

Решение НЛДУ:

Частное решение ищем в виде

Подставляем в НЛДУ:

Получаем выражение для b:

Запишем число b в показательной форме:

Итак, при условии общее решение x(t) НЛДУ будет иметь вид:

Здесь первое слагаемое описывает затухающее колебание , которое со вре­менем экспоненциально убывает, в то время как второе слагаемое определяет вынужденное колебание , под действием периодической внешней силы F(t). Можно говорить, что, по прошествии достаточно большого промежутка времени, после начала движения, система будет совершать только вынужденные колебания

Задача:

Найти уравнения движения МТ массой m в произвольном потенциальном поле, взяв цилиндрические координаты в качестве обобщенных