Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии замкнутой механической систе­мы связан с однородностью времени. В силу этого свойства ее функция Ла­гранжа L не зависит явно от времени t. Поэтому для замкнутой голономной системы с s степенями свободы можем написать , где .

Тогда полная производная функции Лагранжа равна:

Из уравнения Лагранжа

Произведем замену частной производной функции Лагранжа по обобщенной координате:

Закон сохранения энергии: для замкнутой системы величина обобщенной энергии системы будет постоянной:

За­метим, что обобщенная энергия обладает свойством аддитивности, если адди­тивна функция Лагранжа.

Для замкнутой механической системы с голономными стационарными связями, либо для незамкнутой системы, но находя­щаяся в стационарном (не зависящем от времени t) внешнем поле, функция Ла­гранжа имеет вид:

Здесь кинетическая энергия Т является квадратичной функцией обобщенных скоростей:

а потенциальная энергия U зависит только от обобщенных координат q.

Тогда для перечисленных систем обобщенную энергию можно запи­сать как:

Согласно теореме Эйлера об однородных функциях порядка n (удовлетворяющих условию ), эти функции связаны с их частными производными первого порядка соотношением:

Для кинетической энергии имеем:

Подставляя этот результат в формулу для обобщенной энергии получаем:

Таким образом, для замкнутых механических систем с голономными стационарными связями, либо для незамкнутых систем, но находя­щихся в стационарном (не зависящем от времени t) внешнем поле обобщенная энергия Е совпадает с полной механической энергией системы, равной сумме кинетической T и потенциальной U энергий