3. Задача. Найти энергию системы, как интеграл движения,

если

Запишем общую формулу для вычисления энергии. .

Подставим ее выражение для энергии (не забывая умножить на производную по х!!!). Получим ответ(после раскрытия скобок):

7

1) Уравнение Лагранжа 2 рода

Уравнение записывается в обобщенных координатах. Механическая система образована N материальных точек, присутствует r голономных связей

Воспользуемся общим уравнение динамики:

Радиус вектор и скорости . Поскольку обобщенные координаты q(t) функции от времени t, поэтому справедливо равенство: , теперь выразим виртуальные перемещения через вариации :

Подставим это выражение в общее уравнение динамики:

В данной форме записи связи исчезли, а количество уравнений сократилось с 3N до s.Введем два вспомогательных уравнения:

Преобразуем левую часть 2 уравнения к виду .

Запишем соотношение , которое, используя вспомогательные уравнения приведем к виду:

Просуммируем по индексу i: . Из-за аддитивности кинетической энергии .

Введем в рассмотрение - это скалярная величина является обобщенной силой, которая соответствует j-ой координате . Таким образом, учтивая полученные ранее уравнения приходим к следующей системе s уравнений в обобщенных координатах:

, которые носят название уравнения Лагранжа 2 рода для механических систем с идеальными голономными связями.

Рассмотри случай стационарного потенциального поля, т.е. . Тогда сила , действующая на i-ую МТ выражается , тогда для обобщенной силы будет справедлива формула:

Так как потенциальная энергия не зависит от скоростей:

Уравнение Лагранжа второго рода можно записать в виде:

Введя обозначения между разностью кинетической и потенциальной энергией как: получаем уравнение Лагранжа 2 рода для консервативных систем:, где L – функция Лагранжа.

2) Анализ одномерного движения системы в поле потенциальной силы

Рассмотрим движение свободной системы, состоящей из одной частицы с массой m во внешнем потенциальном поле, т. е. в поле, в котором значение потенциальной энергии частицы определяется только ее положением. Считаем, что зависимость потенциальной энергии U(x) от координаты х задана. Эту зависимость, изображенную графически, называют потенциальной кривой. Потенциальная кривая на рисунке

Описать движение частицы можно ньютоновской механикой или методом Лагранжа Для этого необходи­мо написать соответствующее уравнение движения и проинтегрировать его. Однако, поскольку рассматриваемая система консервативна, данный пример дает возможность обойтись и без интегрирования уравнений движения. Для этого надо просто воспользоваться законом сохранения полной механической энергии Е

. Найдем значение энергии, подставив известные значения координаты и скорости :

Может получить уравнение , оно позволяет найти скорость частицы в любой момент времени. Частица, находясь в определенном положении может обладать как положительной так и отрицательной скоростью.

Положение равновесия - это такое место, которое удовлетворяет необходимому и достаточному условию равновесия. В нашем случае это условие записывается в виде равенства нулю потенциальной силы: F(x) = 0. Частица занимает такое положение x_р, при котором выполняется равенство.

Оно означает, что в положении равновесия x_р (точке равновесия) U частицы имеет либо экстремум, либо точку перегиба. Причем, устойчивым равновесным положениям x_р = х_ур соответствуют минимумы функции U(x)

Кинетическая энергия частицы Т величина положительная: Т>0, поэтому движение частицы возможно только на тех участках, на которых для координаты x выполняется неравенство Е > U(x).

Положение, в котором кинетическая энергия Т частицы, а следовательно, и ее скорость равны нулю, называется точкой остановки. Значит, в этих точках полная энергия Е частицы равна ее потенциальной энергии U(x): E=U(x)

В точках остановки скорость меняет знак. Точки остановки определяют границы движения частицы. Если область пространства, где происходит движение, ограничена двумя точками остановки, то движение называется финитным, а если одной точкой или точки отсутствуют, то инфинитным

Найдем возможные области движения частицы для трех случаев, отличающихся тем, что частица будет иметь различные значения полной энергии Е. Для этого на рис. проведем три горизонтальные прямые, которые сопоставим заданным значениям полной энергии.

Случай 1. Полная механическая энергия Е частицы имеет значение Е1, которое удовлетворяет неравенству (6.2) при любых значениях х. Это означает, что движение частицы возможно во всей области пространства. Точек остановки нет. Этот случай относится к случаю инфинитного движения.

Случай 2. Полная энергия Е частицы принимает значение Е2. Тогда неравенство (6.2) выполняется везде кроме интервала x₁