Вынужденные одномерные колебания

Рассмотрим движение механической системы с одной степенью свободы, которая может со­вершать свободные колебания и на которую при этом действует возмущающая нестационарная сила F(t), явно зависящая от времени t, т.

Изучаемая сис­тема обладает как собственной потенциальной энергией, так и дополни­тельной энергией, связанной с действием внешнего поля.

- собственная потенциальная энергия системы

Выражение для дополнительной потенциальной энергии: найдем через малые отклонения x от положения устойчивого равновесия. Для этого разложим ее в ряд Тейлора по степеням x, ограничиваясь двумя членами разложения

Первый член в этом разложении является функцией только времени t. При за­писи функции Лагранжа его можно опустить, поскольку он является полной производной от некоторой другой функции времени. Во втором члене величина есть некоторая внешняя сила F(t) , действующая на систему в положении равновесия и являющаяся заданной функцией времени.

Таким образом, функция Лагранжа приобретает вид:

Запишем уравнение Лагранжа:

- оно имеет вид НЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами или

Общее решение будем искать в виде: , где

- общее решение ОЛДУ (см.

- частное решение НЛДУ

Пусть возмущающая сила F(t) зависит от времени по гармоническому закону: , где -амплитуда, -частота, -фаза

Тогда частное решение ищем в виде

Подставляем это в НЛДУ:

Записываем общее решение: ,

где находятся из начальных условий

Итак, под действием гармонической возмущающей силы F(t) механическая система будет совершать сложное движение, которое представляет собой совокупность двух колебаний, одно с частотой, равной собственной частоте другое с частотой возмущающей силы.

* найденное решение нельзя использовать, когда частота возмущающей силы совпадает или близка с частотой собственных колебаний; возникает явление резонанса, характеризующее резким возрастание амплитуды вынужденных колебаний.

Полная Механическая энергия системы, совершающей вынужденные колебания, не сохраняется. Система приобретает дополнительную энергию за счет источника внешней силы F(t). Полная механическая энергия Е системы определяется вы­ражением

Задача: Написать функцию Лагранжа для свободной материальной точки в системе координат с независимыми переменными, связанными с декартовыми соотношением