Теория упругого рассеяния. Борновское приближение.

Рассеяние частиц можно рассматривать как квантовый переход в состояниях непрерывного спектра из начального состояния и импульсом (свободное движение) в конечное состояние с импульсом под воздействием оператора возмущения , определяющего энергию взаимодействия частиц ( – волновой вектор, ).

Упругое рассеяние – равенство относительных скоростей частиц до и после столкновения: .

Пусть свободная частица движется вдоль оси :

– волновая функция падающей частицы.

Тогда волновая функция рассеянной частицы будет иметь вид:

Задача рассеяния – задача отыскания волновых функций рассеяния, функций вида

– суперпозиция волновых функций падающей и рассеянной частицы. – амплитуда рассеяния.

Борновское приближение: рассеяние рассматривается как малое возмущение:

, где – характерная длина (расстояние действия) потенциала возмущения.

Амплитуда рассеяния рассчитывается по формуле:

Вообще говоря, при нахождении Борновского приближения амплитуда представляется в виде некоторого ряда. Если этот ряд сходится, то первые его членов дают -е Борновское приближение.

Если мы будем рассматривать плоские волны, то:

,

где – изменение импульса при рассеянии, .

В случае центрального поля :

Введём безразмерный параметр :

1) – медленные частицы, тогда

2) – быстрые частицы. Главный вклад в дает область малых значений углов: , т.е. быстрые частицы рассеиваются в основном вперёд, т.к. интеграл отличен от нуля только в области максимума функции Бесселя:

,

где – сферическая функция Бесселя.

Для медленных частиц не зависит ни от энергии, ни от направления.

– Борновский параметр. Для медленных частиц – приближение применимо. Для быстрых частиц .

Дифференциальное сечение рассеяния – отношение рассеянных в единицу времени в единицу телесного угла частиц к плотности потока падающих частиц.

Для упругого рассеяния .