Вторичное квантование свободного электромагнитного поля. Взаимодействие атома с квантованным излучением.

Зачем это нужно: в системе свободных частиц импульсы частиц сохраняются по отдельности, вместе с ними сохраняются и числа заполнения. Если же частицы взаимодействуют друг с другом, то отдельные импульсы уже не сохраняются, также не сохраняются и числа заполнения.

Бозе-частицы: (спин целый, в.ф. симметрична). Введём симметричный оператор

где каждое слагаемое – оператор, относящийся только к одной -й частице – т.е. оператор будет действовать только на функции, содержащие переменную .

Действие оператора:

Введём операторы рождения и уничтожения и запишем их свойства:

В терминах этих операторов, введённый выше оператор будет иметь вид:

например, для гамильтониана:

Взаимодействие атомов с излучением.

Уравнение и решение для вектор-потенциала с учётом калибровки Лоренца :

введём ещё 2 вектора поляризации и разложим исходный вектор-потенциал:

Здесь , – объем.

Напряжённость электрического поля также выражается через это разложение:

Введённые коэффициенты будут теми самыми операторами рождения и уничтожения.

Теперь взаимодействие атома с излучением (испускание фотона и переход ) рассматриваем как возмущение, причём пренебрегаем зависимостью вектор-потенциала от расстояния (берём его в нуле):

Здесь , – оператор напряженности поля. Скорость перехода:

После подстановки:

Объём сократился! Смысл сомножителя таков: первое слагаемое описывает индуцированное излучение фотонов ( – число квантов в падающей волне), а единица описывает спонтанное излучение фотона (присутствует даже в отсутствии поля!). Работает лишь та поляризация, которая лежит в той же плоскости, что и вектора и .

Примечание I: 2 вектора поляризации соответствуют поперечности электромагнитных волн.