5. Магнитное поле в веществе. Молекулярные токи Ампера. Вектор намагничивания.

предполагаем, что проводники, по которым текут токи, создающие магнитное поле, на­ходятся в какой-либо среде, но не в вакууме. Всякое вещество является магнетиком, т. е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитный мо­мент (намагничиваться).

Истинное (микроскопическое) поле в магнетике силь­но изменяется в пределах межмолекулярных расстояний. Под В подразумевается усредненное (макроскопическое) поле.

Для объяснения намагничения тел Ампер предполо­жил, что в молекулах вещества циркулируют круговые токи. Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствие внешнего поля молекулярные токи ориен­тированы беспорядочным образом, вследствие чего об­условленное ими результирующее поле равно нулю. В силу хаотической ориентации магнитных моментов от­дельных молекул суммарный магнитный момент тела также равен нулю. Под действием поля магнитные мо­менты молекул приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении, вследствие чего магнетик намагничивается — его суммарный магнитный момент становится отличным от нуля. Магнитные поля отдель­ных молекулярных токов в этом случае уже не ком­пенсируют друг друга и возникает поле В'.

Намагничение магнетика естественно характеризовать магнитным моментом единицы объема. Эту величину называют вектором намагничивания и обозна­чают J. Если магнетик намагничен неоднородно, вектор намагничения в данной точке определяется следующим выражением: J= где -физически бесконечно малый объем, взятый в окрестности рассматриваемой точки, p_m — магнитный момент отдельной молекулы.

Напряженность магнитного поля. Терема о циркуляции вектора магнитной индукции в магнетике = закон полного тока.

Найдем поток вектора В = В₀ + В' через произволь­ную замкнутую поверхность:

=. Линии вектора В₀ (характеризующего поле, создаваемое макроскопическими токами) всегда замкнуты. То же самое справедливо и для линий вектора В'. Поэтому оба интеграла, стоящие справа, равны нулю (каждая из линий В₀ или В' пере­секает замкнутую поверхность четное число раз, причем она входит внутрь поверхности столько же раз, сколько выходит наружу). Следовательно, ==0

Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора В: поток вектора магнитной индукции через лю­бую замкнутую поверхность равен нуль.

Теперь обратимся к циркуляции вектора В, которая по определению равна Циркуляция вектора В₀, выражаемая первым из, интегралов, стоящих в пра­вой части, пропорциональна алгебраической сумме мак­роскопических токов i, охватываемых контуром, по ко­торому берется циркуляция. Аналогично циркуляция вектора В' (второе слагаемое) должна быть пропорцио­нальна сумме всех, охватываемых контуром молекуляр­ных токов I_м. Следовательно, циркуляция вектора В ре­зультирующего поля пропорциональна сумме всех охва­тываемых контуром токов (как макроскопических i, так и молекулярных I_м): (1)

Для того чтобы опре­делить В, нужно знать не толь­ко токи, текущие по проводам, но и молекулярные токи.

Чтобы установить вид этой вспомогательной величи­ны, попробуем выразить фигурирующую в (1) сумму молекулярных токов через вектор намагничения магне­тика J). В эту сумму должны войти только те молеку­лярные токи, которые оказываются «нанизанными» на контур, для которого вычисляется циркуляция. Как вид­но из рис.1, элемент контура dl, образующий с направлением намагничения угол , пересекает те молекуляр­ные токи, центры которых попадают внутрь косого ци­линдра с объемом S_М cos dl (S_M — площадь, охваты­ваемая отдельным молекулярным током). Если п — число молекул в единице объема, то суммарный ток, охваты­ваемый элементом dl_, равен I_M nS_M cos dl. Произведе­ние I_МS_М равно магнитному моменту р_т отдельного мо­лекулярного тока. Следовательно, выражение I_МS_Мn представляет собой магнитный момент единицы объема, т. е. дает модуль вектора J, a I_MS_M n cos— проекцию J_l вектора J на направление элемента dl. Таким образом, суммарный молекулярный ток, охватываемый элементом dl, равен J_l dl, а сумма молекулярных токов, охватывае­мых всем контуром:(2) Исключив из формул (2) и (1) сумму молекулярных токов, легко получить следующее соотношение:(3) Выражение, стоящее в скобках под знаком интегра­ла, и есть искомая вспомогательная величина.

Итак, напряженностью магнитного поля называется физическая величина, определяемая соотно­шением H=-J (4) С использованием этой величины формула (3) может быть записана в виде (5)

Если макроскопические токи распределены в пространстве с плотностью j, формула (5) видоизменяется следующим образом: (6) (S — произвольная поверхность, ограниченная контуром, по которому берется циркуляция).

Формулы (6) и (5) выражают теорему о циркуляции вектора Н: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому контуру равна алгебраической сумме макроскопических токов, охватываемых этим контуром.

Выражение называют циркуляцией вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру. Формулу (5) так же называют законом полного тока.

На заметку: Из сказанного выше вытекает, что напряженность магнитного поля Н является аналогом электрического смещения (электрической индукции) D. Первоначально предполагалось, что в природе имеются подобные элек­трическим зарядам магнитные массы, и учение о магне­тизме развивалось по аналогии с учением: об .электриче­стве. В те времена и были введены названия: «магнит­ная индукция» для В и «напряженность поля» для Н. Впоследствии выяснилось, что магнитных масс в при­роде не существует и что величина, названная магнит­ной индукцией, в действительности является аналогом не электрического смещения D, а напряженности элек­трического поля Е (соответственно Н — аналогом не Е, a D). Однако изменять уже установившуюся термино­логию не стали, тем более, что вследствие различной природы электрического и магнитного ,полей (электро­статическое поле потенциально, магнитное соленоидально) величины В и D обнаруживают много сходства в сбоем поведении (например, линий В, как и линии D, Не претерпевают разрыва на границе двух сред).

Классификация магнетиков. Прежде чем изложить классификацию магнетиков, рассмотрим величины, с помощью которых принято ха­рактеризовать магнитные свойства разных веществ. Введем для этой цели восприимчивость определяющая величину намагничения единицы объема вещества. Вектор намагничения J принято связывать с напряженностью поля. Как пока­зывает опыт, вектор J связан с вектором Н в той же точке магнетика соотношением J=H. часто вместо восприимчивости единицы объема пользуются отнесенной к одному киломолю вещества киломолярной (для химически простых веществ - килоатомной) восприимчивостью _км (_кат) или от­несенной к единице массы удельной восприимчи­востью _уд Между значениями этих восприимчивостей имеются соотношения: _км = V_км, где V_км — объем киломоля вещества (в м³/ кмоль) _{уд =} где - плот­ность вещества (в кг/м³).

В зависимости от знака и величины магнитной вос­приимчивости все магнетики подразделяются на три группы:

1) диамагнетики, у которых отрицательна и мала по абсолютнои величине (_км ~ 10^-8-10^-7 м³/кмоль);

2) парамагнетики, у которых тоже невелика, но положительна, (_км ~10^-6-10^-7 м³/кмоль);

3) ферромагнетики, у которых положительна и достигает очень больших значений (_км ~10³ м³/кмоль) Кроме того, в отличие от диа- и парамагнетиков, для которых постоянна, магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряженности магнит­ного поля.

Таким образом, вектор намагничения J может как совпадать по направлению с Н (у пара- и ферромагне­тиков), так и быть направленным в противоположную сторону (у диамагнетиков). Напомним, что у диэлектри­ков вектор поляризации всегда направлен в ту же сто­рону, что и Е.

Диамагнетики. Электрон, движущийся по орбите, подобен волчку. Поэтому ему должны быть свойственны все особенности поведения гироскопов под действием внешних сил, в ча­стности при соответствующих условиях должна возни­кать прецессия электронной орбиты. Условия, необхо­димые для прецессии, осуществляются, если атом нахо­дится во внешнем магнитном поле В (рис 2). В этом случае на орбиту действует вращательный момент М = [р_mВ], стремящийся установить орбитальный магнит­ный момент электрона р_mпо направлению поля (при этом механический момент L установится против поля). Под действием момента М векторы L и р_m совершают прецессию вокруг направления вектора магнитной ин­дукции В, скорость которой легко найти.

За время dt вектор L получает приращение dL, равное dL = М dt.

Вектор dL, как и вектор М, перпендикулярен к пло­скости, проходящей через векторы В и L, и по модулю равен |dL| = р_mВ sindt, где — угол между р_m и В. За время dt плоскость, в которой лежит вектор L, повернется вокруг направления В на угол

Разделив этот угол на время dt, найдем угловую скорость прецессии Подставив в это выражение значение гиромагнитного отношения для электрона: (7)

т.е. отноше­ние магнитного и механического орбитальных моментов электрона, получим: (8) В гауссовой системе

Частоту (8) называют ча­стотой ларморовой пре­цессии или просто ларморовой частотой. Она не зави­сит ни от угла наклона орбиты по отношению к направлению магнитного поля, ни от радиуса орбиты или скорости электрона и, следовательно, для всех элек­тронов, входящих в состав атома, одинакова.

Прецессия орбиты обуслов­ливает дополнительное движение электрона вокруг направления поля. Если бы расстояние r' электрона от параллельной В оси, проходящей через центр ор­биты, не изменялось, дополни­тельное движение электрона про­исходило по окружности радиуса г' (см. незаштрихованную окруж­ность в нижней части 2). Ему соответствовал бы круговой ток (см. заштрихованную окружность) I^/=e, магнитный момент которого p^/_m=I^/S^/= e= (9) направлен, как видно из рис. 2, в сторону, противопо­ложную В. Этот момент называется индуцированным (наведенным) магнитным моментом.

В действительности, вследствие движения электрона по орбите расстояние г' все время меняется. Поэтому в формуле (9) нужно брать вместо г'² его среднее по времени значение. Это среднее зависит от угла , характеризующего ориентацию плоскости орбиты по от­ношению к В. В частности, для орбиты, перпендикуляр­ной к вектору В, г' постоянно и равно радиусу орбиты г. Для ор­биты, плоскость которой прохо­дит через направление В, г' изменяется по закону r ^/= rsint, где — угловая скорость обра­щения электрона по орбите (рис.3; вектор В и орбита лежат в плоскости рисунка). Следовательно, и, поскольку среднее значение квадрата синуса есть ½, Если произвести усреднение по всем возможным значениям , считая их равновероятными, то получается (10)

В атомах со многими электронами орбиты ориенти­рованы всевозможными способами, поэтому каждому электрону можно приписать в среднем значение (10).

Подставив в (9) значение (8) для , и (10) для получим для среднего значения индуцированного магнитного момента одного электрона следующее выражение:(11)

(знак «—» отражает то, что векторы и B направлены в противоположные стороны).Мы предполагали орбиту круговой. В противном случае (например, для эллиптической орбиты) вместо r2 нужно взять , т. е. средний квадрат расстояния электрона от ядра. Просуммировав выражение (11) по всем электронам, найдем индуцированный магнитный момент атома в целом: (12)

{число электронов в атоме -равно, как известно, атомному номеру Z).Итак, под действием внешнего магнитного поля происходит прецессия электронных орбит с одинаковой для всех электронов угловой скоростью (8). Обусловлен­ное прецессией дополнительное движение электронов приводит к возникновению индуцированного магнитного момента атома (12), направленного против поля. Ларморова прецессия возникает у всех без исключения веществ. Однако в тех случаях, когда атомы обладают сами по себе магнитным моментом, магнитное поле не только индуцирует момент (12), но и оказывает на магнитные моменты атомов ориентирующее действие, устанавливая их по направлению поля. Возникающий при этом положительный (т. е. направленный вдоль поля) магнитный момент бывает значительно больше, чем отрицательный индуцированный момент. Поэтому результирующий момент оказывается положительным и вещество ведет себя как парамагнетик.

Диамагнетизм обнаруживают лишь те вещества, у которых атомы не обладают магнитным моментом (векторная сумма орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов атома равна нулю). Если для такого вещества умножить равенство (12) на число Авогадро NА, получится магнитный момент килограмм-атома вещества. Разделив его на напряженность поля. Н, найдем килограмм-атомную магнитную восприимчивость Относительная магнитная проницаемость диамагнетиков практически равна 1. Поэтому можно положить Таким образом, (13)

Радиусы электронных орбит имеют величину порядка 10-10м Следовательно, согласно формуле (13) килограмм-атомная диамагнитная восприимчивость получается порядка 10-8 —10-7 , что хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Парамагнетизм. Если магнитный момент р_m атомов отличен от нуля, вещество оказывается парамагнитным. Внешнее магнитное поле стремится установить магнитные моменты атомов вдоль В, тепловое движение стремится разбросать их равномерно по всем направлениям. В результате устанавливается некоторая равновесная преимущественная ориентация моментов вдоль поля тем большая, чем больше В, и тем меньшая, чем выше температура.

Кюри экспериментально установил закон, согласно которому парамагнитная килограмм - атомная восприим­чивость вещества равна где С—постоянная Кюри, зависящая от рода вещества, Т — абсолютная температура. Классическая теория парамагнетизма была развита Ланжевеном в 1905 г. мы ограничимся изложением этой теории для случая не слишком сильных полей и не очень низких температур. Атом обладает в магнитном поле потенциальной энергией W = —p_mBcos, которая зависит от угла между векторами р_m и В. Поэтому равновесное распределение моментов по направлениям должно подчиняться закону Больцмана. Согласно этому закону вероятность того, что магнитный момент атома будет образовывать с направлением вектора В угол, заключенный в пределах от до + d, пропорциональна Введя обозначение a= выражение, определяющее вероятность, можно записать в виде , Будем изображать направления магнитных моментов атомов с помощью точек на сфере единичного радиуса Если бы поле не оказывало на магнитные моменты ориентирующего действия, они были бы распределены по направлениям хаотически. В этом случае плотность точек на сфере постоянна и равна где n — количество рассматриваемых атомов, которое мы возьмем равным числу атомов в единице объема. Поэтому число атомов, моменты которых образуют с направлением В углы, заключенные в пределах от до + d, было бы равно (рис. 4)

d(12). В действительности, магнитное поле оказывает на моменты ориентирующее действие, в результате чего на­правления с меньшими становятся преобладающими. Вероятность различных ориентации, как мы видели, пропорциональна . Следовательно, чтобы получить распределение моментов по направлениям при наличии магнитного поля, нужно выражение (12) умножить на этот множитель: (13)

(А - неизвестный пока коэффициент пропорциональности). Магнитный момент атома имеет величину поряд­ка одного магнетона Бора, т.е. ~10^-23 дж/тл . При достигаемых обычно полях магнитная индукция бывает порядка 1 тл (10⁴). Следовательно, р_мВ имеет порядок 10^-23 дж. Величина kT при комнатной темпера­туре равна примерно 4 10^-21 дж. Таким образом, и можно заменить приближенно через 1+. В этом приближении выражение (13) принимает вид: Константу А можно найти, воспользовавшись тем, что полное число молекул, имеющих все возможные ориентации, характеризуемые значениями от 0 до , дол­жно быть равно n: Отсюда А=1, так что Магнитные моменты атомов распределяются симметрично, относительно направления поля. Поэтому результирующий магнитный момент совпадает по направлению с В. Следовательно, каждый атом вносит в результирующий момент вклад, равный p_mcos Таким образом» для магнитного момента единицы объема (т. е. для вектора намагничения) можно написать следующее выражение:J=

Подставляя сюда вместо а его значение, получаем J=Наконец, разделив J на H, найдем восприимчивость (для парамагнетиков также можно положить

Взяв вместо п число Авогадро N_A, получим выраже­ние для килограмм-атомной восприимчивости(14)

Легко видеть, что мы пришли к закону Кюри. Сопо­ставление первой и последней формул дает для постоянной Кюри следующее выражение:

С= Напомним, что формула (14) получена в предположении, что р_mВ