Свободные одномерные колебания

Рассмотрим консервативную механическую систему с одной степенью свободы, положение которой определяется обобщенной координатой q. Предположим, что в точке q = q₀ система обладает устойчивым равновесным положением.

В положении устойчивого равновесия q₀ потенциальная энергия U(q) системы имеет минимум. Это означает, что

Отклонение системы от положения устойчивого равновесия приводит к возникновению восстанавливающей силы F = - dU/dq, стремящейся вернуть систему обратно к равновесному положению. Под действием этой силы система начнет совершать колебательное движение около минимума потенциальной энергии. Исследуем такого рода движения с помощью уравнения Лагранжа второго рода , функция Лагранжа

Запишем это уравнение в переменных отклонения от равновесия . Разложим оба члена функции в ряд Тейлора:

Здесь учитывали, что - малые одного порядка. Коэффициент инерции (только Декартовой СК), тогда . В случае малых отклонений от положения равновесия в разложении потенциальной энергии:

достаточно сохранить только первый неисчезающий член, таким является член второго порядка малости. Введем обозначение: , поэтому .

Окончательно находим функцию Лагранжа рассматриваемой системы:

и уравнение Лагранжа для такой функции

. Общим решением будет:

Найдем выражение полной механической энергии рассматриваемой системы: - энергия не зависит от времени и пропорциональна квадрату амплитуды колебания.