Функция Лагранжа системы материальных точек

Приведем для примера выражения для Функции Лагранжа некоторых мех. Систем:

А) Функция Лагранжа L замкнутой системы N невзаимодействующих МТ равна сумме их кинетических энергий T_i

Б) Если в замкнутой системе МТ присутствует взаимодействие, то функция Лагранжа L записывается в виде: (1), где - учитывает взаимодействие между МТ.

Сделаем ряд замечаний о формуле

1) Эта формула имеет допущение, которое нельзя использовать в неинерционных системах отсчета, либо в случае наличия сил трения или магнитных сил;

2) Она содержит представление о мгновенности распространения взаимодействий, так как потенциальная энергия U зависит только от положения МТ в один и тот же момент времени, её нельзя применять в релятивистской механике

3) в формуле присутствуют только четные комбинации производных по времени, поэтому функция Лагранжа не изменяется при замене t —> —t. При замене положительного времени на отрицательное уравнения движения остаются неизменными.

Подставим (1) в Уравнение Лагранжа: . Получим уравнение движения в форме: . Здесь равнодействующая сила равна сумме:

В) При описании движения замкнутой системы N взаимодействующих МТ с r голономными связями удобно использовать не радиус-векторы, а обобщенные координаты.

Предположим, что на систему наложены стационарные связи. Для получения функции Лагранжа принять преобразования (нет явной зависимости от времени t)

Подставляя эти соотношения в (1) получаем функцию Лагранжа в обобщенных координатах и скоростях:

2)