2.2. Динамика

Динамика раздел механики, изучающий механическое движение с учётом причин, вызывающих это движение. Законы динамики сформулировал Ньютон.

2.2.1. Первый закон Ньютона

Первый закон Ньютона – это закон инерции: если равнодействующая всех сил, действующих на тело равна нулю, то тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Такое движение иногда называют свободным или движением по инерции, а систему отсчета, в которой оно происходит, называют инерциальной.

Инерция - это сопротивление тела всяким попыткам изменить состояние его движения, например, изменению скорости.

Функциональный элемент:

Внутри инерциальной системы отсчёта невозможно определить покоится она или движется равномерно и прямолинейно.

Не инерциальные системы отсчета движутся с ускорением относительно инерциальных.

В технике часто используются подвижные системы отсчета. Например, при расфасовке пищевых продуктов, при стыковке космических аппаратов и т.д.

Пусть система К' движется относительно инерциальной системы К с постоянной скоростью v_o так, чтобы оси х и х' при движении совпадали, а оси у, у' и Z, z' были параллельны друг другу, причем вектор, соединяющий начала координат, r_o = v₀t, где t время.

Тогда очевидно, что радиус-векторы произвольной точки М в этих системах отсчета связаны соотношением

r = r’ + v_ot. r=f(t). (2.2.1)

Спроектировав (2.2.1) на оси координат, получим преобразования Галилея:

х = х' + v₀t; у = у' ; z = z' . (2.2.2)

Дифференцируя (2.2.1) по времени, получим закон сложения скоростей в классической механике:

v = у' + Vo' v = f(t) (2.2.3)

Скорость абсолютного движения v равна векторной сумме скоростей относительного у' и собственного v₀ движений. Время в динамике Ньютона носит абсолютный характер t¢= t.

Если скорость точки М в инерциальной системе К постоянна: v = const. Тогда из равенства (2.2.3) следует, что скорость точки М относительно движущейся системы отсчета К¢ является также постоянной: v' = const, или наоборот.

Следовательно, для этой точки выполняется первый закон Ньютона, и движущаяся система отсчета К¢ также является инерциальной.

Инерциальных систем существует бесконечное множество.

Функциональный элемент:

Любая система отсчета, движущаяся прямолинейно и равномерно относительно инерциальной, будет также инерциальной.

Дифференцируя равенство (2.2.3) по времени и учитывая, что величина v_o постоянна: а = а', т.е. ускорение точки в обеих системах отсчета одинаково, а значит законы

динамики одинаково справедливы для обеих систем.

Исходя из этого Галилео Галилей сформулировал принцип относительности - во всех инерциальных системах отсчёта все законы механики одинаковы.

Функциональный элемент:

Выводы о механических движениях полученные в одной инерциальной системе отсчёта достоверны и для другой инерциальной системы отсчёта.

2.2.2. Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона – это закон ускорения: если на тело массой m действует сила F, то оно движется с ускорением a.

Масса - количественная характеристика инерции тела и его гравитационных свойств.

В законах динамики предполагается, что масса не зависит от ускорения движения тела и от взаимодействия с другими телами, а является свойством самого тела.

Масса обозначается буквой т. Величину массы определяют путем сравнения с массой эталонного тела, принятого за единицу. Единицей массы в СИ является 1 кг.

Сила векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей в результате которого тело приобретает ускорение (динамическое проявление сил), либо изменяет свою форму (статическое проявление сил).

В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением и точкой приложения.

Векторный характер силы проявляется в том, что при воздействии на тело нескольких сил F₁, F₂, . .., Fn результирующая сила равна векторной сумме сил: F = F₁ + F₂ +. .. + Fn.

Ньютоном экспериментально установлено, что ускорение тела а пропорционально результирующей силе F, действующей на тело, и обратно пропорционально массе тела т: F = kma.

Величина коэффициента k зависит от выбора единиц измерения массы, ускорения и силы. Принято выбирать единицу силы так, чтобы k = 1. В этом случае закон принимает следующий вид:

F = та (2.2.4)

Уравнение (2.2.4) является авторской ньютоновской математической записью закона ускорения. Оно справедливо только в инерциальных системах отсчета.

Выражение (2.2.4) позволяет ввести единицу силы. Единицей силы в СИ называется «Ньютон» (Н).

1 Ньютон - есть такая сила, которая телу массой

1 кг сообщает ускорение 1 м/с², т.е. 1 Н= 1 кг1м/с².

Функциональный элемент:

Авторская запись второго закона Ньютона (F=ma) может применяться только при скоростях движения значительно меньших скорости света (v0,1C) – микро и мегамир.

Функциональный элемент:

Законы динамики Ньютона применимы практически только в макромире.

2.2.4 Динамика твёрдого тела

Твёрдое тело – это такое тело, расстояние между двумя любыми материальными точками которого не изменяемся при внешнем механическом воздействии.

Для описания поступательного движения твёрдого тела вводят понятие центра масс твёрдого тела. В однородном поле тяготения центр масс твёрдого тела совпадает с центом тяжести тела.

Твёрдое тело, имеющее массу m, мысленно разбивают на систему n материальных точек с массами m_i где I=1,2… n. В каждую точку из начала координат проводят радиус-векторы r_i .

центром масс (или центром инерции) тела называют точку с, положение которой задаётся радиус-вектором r_с, определяемым по формуле

r_с=( m₁r₁₊ m₂r_2+….+ m_nr_n)( m₁₊ m_2+….+ m_n)=(S m_ir_i)/m, (2.2.4.1)

где m-масса тела.

По второму закону Ньютона для каждой материальной точки твёрдого тела:

m_iа_i= f_i+ F_i, (2.2.4.2)

где а_i- ускорение I-той материальной точки, f_i- результирующая всех внутренних сил, F_i- результирующая всех внешних сил, приложенных к данной материальной точке.

Сложив уравнения (2.2.4.2) для всех n материальных точек:

Sm_iа_i= Sf_i+ SF_i (2.2.4.3)

по третьему закону Ньютона каждой внутренней силе f_i найдется равная ей по величине и противоположно направленная сила, так что все внутренние силы попарно уничтожатся и Sf_i=0. уравнение (4.3) упрощается:

Sm_iа_i= SF_i (2.2.4.4)

Сумму, стоящую в левой части равенства, можно связать с центром масс тела. Для этого представим формулу (2.2.4.1) в виде mr_с=S m_i r _I, продифференцируем её дважды по времени, и , приняв во внимание, что

d²r_i/dt²=a_i d²r_с/ dt²=а_с: mа_с=S m_iа_i (2.2.4.5)

сравнивая формулы (2.2.4.4) и (2.2.4.5), придем к уравнению: SF_i = mа_с (2.2.4.6)

Уравнение (2.2.4.6) представляет собой теорему о движении центра масс: центр масс твёрдого тела движется так же, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием тех же внешних сил.

2.2.5. Энергия вращательного движения.

Рассмотрим вращательное движение произвольного твёрдого тела, которое может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси.

Разобьём тело на n точек с массами m_i и проведем к ним векторы r_i от оси вращения перпендикулярно к оси, i=1,2,… n.

Кинетическая энергия вращательного движения твёрдого тела складывается из кинетических энергии каждой i-той материальной точки m_iv²_i/2 где v_i=w r_i- линейная скорость i-той материальной точки, w-угловая скорость вращения тела.

Полная энергия вращательного движения

Е_вр =S m_iv²_i/2=1/2 S m_iw²r_i ²=1/2w²S m_ir_i ². (2.2.5.1)

Величину j= S m_ir_i ² называют моментом инерции тела относительно данной оси вращения, m_ir_i ² – момент инерции i-той материальной точки.

Подставляя j, получим

Е_вр= jw²/2. (2.2.5.2)

Сравним формулу (2.2.5.2) с формулой для кинетической энергии поступательного движения (Е_к= mv²/2). В обеих формулах скорости имеют квадраты, а величина j эквивалентна массе тела и определяет инертность тела по отношению к вращательному движению.

Из формулы (2.2.5.1) видно, что момент инерции есть величина аддитивная, т.е. распределённая.

Функциональный элемент:

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.

В общем случае масса i-той материальной точки твёрдого тела m_i₌ rV_i, где V_i- объем материальной точки; r- плотность тела.

Подставляя m_i в формулу (2.2.5.1), получим j@Srr_i ² V_i. эта формула является приближенной, так как элементы объема V_i находятся на различном расстоянии от оси вращения. Устремляя V_i к нулю, в пределе получим

j=r r ²d V. (2.2.5.3)

Интеграл в этом выражении берется по всему объему тела.

2.2.6 Момент силы.

Вращательное движение тела относительно точки O возникает под действием силы и плеча силы h.

плечом силы называют кратчайшее расстояние от линии действия силы до точки O.

Произведение величины силы F на её плечо называют моментом силы относительно точки или оси вращения.

Момент силы иногда называют вращательным моментом:

М= Fh.

Функциональный элемент:

Момент силы пропорционален её величине и длине плеча.

<< | >>

↑

Источник: Бровяков В.П., Мирошников Ю.Ф.. Функциональные элементы физики: Учебное пособие./Под ред. В.П.Бровякова. - Самара, Филиал ГОУВПО «МГУС» в г. Самаре,2006. – 397 с.. 2006

Еще по теме 2.2. Динамика:

- Астрономия и астрофизика - История физики - Квантовая физика - Механика - Общая физика - Оптика - Термодинамика, молекулярная и статистическая физика - Физика плазмы - Электричество и магнетизм -

Lectures.Sci.House

lector@sci.house