2.1. Кинематика

Кинематика, являясь разделом механики, занимается описанием движения тел без анализа причин, вызывающих это движение.

Для изучения реального движения применяются две модели его: поступательное и вращательное движения.

2.1.1. Кинематика поступательного движения

Поступательное движение – это такое движение, когда прямая, проведённая в теле через любые две материальные точки, перемещается параллельно самой себе при движении тела. При поступательном движении все материальные точки тела неподвижны относительно друг друга. Поступательное движение, в свою очередь, можно разделить на

- поступательное одномерное, когда перемещение тела описывается одной координатой (линейное перемещение);

- поступательное двумерное, когда перемещение тела описывается двумя координатами (плоское перемещнение);

- поступательное трёхмерное, когда перемещение тела описывается тремя координатами (пространственное перемещнение);

Положение материальной точки в процессе движения можно охарактеризовать радиус-вектором r=r(t), проведенным из начала координат к точке. Проецируя r на оси координат, получим x=x(t), y=y(t), z=z(t)- кинематические уравнения движения.

Следовательно, положение материальной точки в любой момент времени полностью задаётся тремя числами, и говорят, что материальная точка имеет три степени свободы движения.

Траектория - это воображаемая линия, которую проходит материальная точка при движении.

Пусть материальная точка переместилась вдоль некоторой траектории из некоторого положения 1 в положение 2. Путь - это расстояниеs пройденное частицей между точками 1 и 2 за t, отсчитанное вдоль траектории.

Перемещение – это кратчайшая из траекторий – прямая, или вектор r, проведенный из точки 1 в точку 2.

Сумма нескольких перемещений находится по закону сложения векторов.

Если при движении частица проходит за равные промежутки времени одинаковые пути, то движение называют равномерным.

Скорость равномерного движения можно вычислить, разделив путь s на время t, т.е. =s/t. размерность скорости [] = м/с. в физике под скоростью понимают векторную величину, характеризующую не только быстроту перемещения частицы, но и направление в котором движется частица.

Если за время t частица получит перемещение r, то величину v_ср = r/t называют средней скоростью движения частицы.

Если брать всё более малые промежутки времени t, то отношение r/t в пределе стремится к точному значению скорости v, которая называется мгновенной:

v= lim==r,

где r есть производная от радиус-вектора по времени.

Очевидно, что в предельном случае при t 0 направление r совпадает с направление касательной к траектории, поэтому в любой точке траектории мгновенная скорость направлена по касательной к ней.

Модуль скорости определяется формулой = lim r/t. При t 0 величина r= |r|s, поэтому формулу можно записать в виде = lims/t = ds/dt.

Функциональный элемент:

Модуль скорости равен производной от пути по времени.

Ускорение - это быстрота изменения вектора v. Она определяется отношением изменения скорости v к соответствующему промежутку времени t и называется средним ускорением а_ср=v/t. Размерность ускорения [a]=м/с². Соответственно мгновенное ускорение,

а==V (2.1).

Пусть материальная точка М движется по кривой линии и за время t переместится из точки А в точку В. при этом вектор её скорости изменится от значения v₁ до значения v₂.

Для нахождения разности векторов перенесем вектор v₁ параллельно его направлению так, чтобы его начало переместилось из точки А в точку В.

Разность векторов v= v₂-v₁ есть вектор, проведенный из конца v₁ к концу v₂. Разложим вектор v на составляющие v_n и v_t. Получим v = v_n +v_t. Ускорение:

а= lim =а_n+a_r t 0 (2.2).

Из последнего выражения следует, что полное ускорение а точки М равно векторной сумме ускорений а_n и а_r .

Ускорение а_t совпадает по направлению с вектором v_t, т.е. при t 0 с направлением скорости в точке А. Это тангенциальное или линейное ускорение, направленное по касательной к траектории и характеризующее изменение скорости по величине.

Ускорение а_n совпадает по направлению с вектором v_п, т.е. при t 0 направлено к центру, перпендикулярно скорости в точке А.

Это ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению. Его называют нормальным (перпендикулярным к касательному) ускорением.

По определению радианной меры угла получим a = s/r и аналогично a» v_п / (для малых a), где r радиус кривизны траектории, перпендикулярный к ней, s путь, пройденный точкой.

Приравнивая правые части равенств, получим _n» s/r. Используя эту формулу:

а_n=lim=lim == (2.3)

Нормальное ускорение а_n часто называют центростремительным.

Так как векторы а_t и а_n то модуль полного ускорения выражается формулой а²=а²_n+ а²_t.

Для равнопеременного движения, суммируя все dv=a_tdt, за промежуток времени от 0 до t получим, для модуля скорости v:

= или v=v₀+a_tt (2.4)

Аналогично суммируя все ds за промежуток времени от 0 до t, с помощью формулы ds=vdt, получим для пройденного пути s:

s= или s=v₀t+a_tt^2/2 (2.5)

2.1.2. Кинематика вращательного движения

Вращательное движение – это такое движение когда, хотя бы одна материальная точка тела движется относительно другой.

При вращательном движении твердого тела его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения.

За некоторое время dt радиус-вектор R произвольной точки твердого тела повернётся на один и тот же угол d, а сама точка сместится в общем случае на некоторое расстояние ds.

При вращательном движении роль пройденного пути играет угол поворота тела d, а вместо линейной скорости вводят угловую скорость

=d/dt. (2.6)

Размерность угловой скорости [] = рад /с = c¹. По

определению радианной меры угла d = ds/R. Тогда, учитывая выражение (2.6):

= Rds/dt или = v/R (2.7)

Как показывает опыт, результирующую величину угловой скорости находят по закону сложения векторов. Поэтому угловую скорость представляют в виде вектора, направление которого определяется по правuлу правого винта (или буравчика): вектор аксиален, т.е. направлен по оси вращения тела в сторону перемещения правого винта, головка которого вращается так же, как тело.

Этот вектор существенно отличается от таких векторов, как скорость, перемещение, и его часто называют псевдовектором (он не имеет определенной точки приложения и откладывается от любой точки на оси вращения).

Очевидно, что R = r sin, где r радиус-вектор, проведенный из произвольной точки оси вращения, а угол между векторами и r.

С учетом равенства (2.7), получим v = r sin. Если модули двух любых векторов, таких, как и r, связаны подобным соотношением и оба эти вектора перпендикулярны к третьему вектору, как вектор v, то три таких вектора записывают в виде векторного произведения v = [r] = х r.

Направление вектора v определяется по правилу буравчика: если буравчик вращать от направления вектора к направлению вектора r, то направление его поступательного движения совпадет с направлением вектора v.

По аналогии с поступательным движением для описания вращения введем вектор углового ускорения по формуле = d/dt, где d изменение вектора угловой скорости за время dt.

Размерность углового ускорения [] = рад/с² = с^-2. Как и вектор , вектор является псевдовектором и направлен по оси вращения.

При равноускоренном вращении тела вокруг неподвижной оси направления векторов и совпадают, при равнозамедленном вращении их направления противоположны.

Модуль тангенциального ускорения а_t = dv/ dt. С учетом равенства (2.7) получим а_t = d(R)/ dt или

а_t = R.

Аналогично формуле, связывающей угловую и линейную скорости, последнее равенство можно записать в виде векторного произведения а_t =[R].

При вращении тела около неподвижной оси с постоянным угловым ускорением можно получить

зависимость угла поворота и угловой скорости от времени.

Подставляя в формулы (2.4) и (2.5) выражения s=R, v=R, а_t =R, получим =_0t+t^2/2 и =₀+ t, где s расстояние, которое проходит точка, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, при повороте тела на угол , v её линейная скорость, а_t тангенциальное ускорение.