Канонічні перетворення. Твірні функції канонічних перетворень.
На відміну від рівнянь Лагранжа, рівняння Гамільтона не є інваріантними відносно заміни змінних.
Вимагати збереження вигляду рівнянь руху можна двома способами : прямою підстановкою нових координат в канонічні рівняння і накладаючи обмеження на перетворення, або використавши умову виконання принципу Гамільтона.
Такі перетворення називаються канонічними. Розглядається другий спосіб.Дія в старих змінних q , p : 
Дія в нових змінних Q , P : 
Г – нова функція Гамільтона. Варіація різниці цих інтегралів має бути рівна нулю. Це виконується тоді, коли підінтегральні функції відрізняються на повну похідну за часом від деякої функції координат, часу та імпульсів, оскільки значення інтегралу такої функції стале і не варіюється.
Отже : 
Якщо функція V, що називається твірною функцією канонічного перетворення залежить від q і Q ,
То з другого рівняння виражаються старі координати і підставляються в перше рівняння для старих імпульсів, таким чином матимемо явні формули переходу.
Для того, щоб мати твірні фннкції залежні від інших пар змінних треба відилити повний диференціал d(pq) , або d(PQ) у рівнянні .