Рівняння Гамільтона-Якобі. Метод розділеня змінних.

Нехай є якесь канонічне перетворення :

Канонічні рівняння Гамільтона :

Якщо ж тепер Г = 0, то з одного боку , а з іншого боку нові координати і іммпульси будуть сталими, а тому константи, що з’являться при розв’язанні диференційного рівняння можна прирівняти до нових координат.

Далі : - параметричне рівняня фазової траєкторії.

В загальному випадку кількох ступенів вільності рівняння Гамільтона-Якобі виглядатиме так :

Якщо ж тепер j-та узагальнена координата і якийсь узагальнений імпульс входять до функції Гамільтона у вигляді якоїсь комбінації , що не залежить більше ні від чого, то якщо записати ,де перший доданок від не залежатиме.

Рівняння Гамільтона-Якобі розпадеться на два :

Оскільки рівняння Гамільтона-Якобі матиме змінних на одну менше і комбінаці треба прирівняти до однієї зі сталих інтегрування.

Для консервативних систем H = const, тому