Симетрія простору-часу та закони збереження.

Якщо певним просторовим перетворенням варіюються координати і швидкості, то варіація функції Лагранжа виглядатиме : .

Якщо зробити ортогональне перетворення координат, то , і , якщо простір однорідний , тобто вектор швидкості залишаєтья незмінним. Внаслідок такого перетворення відстані між точками залишаються незмінними, отже не змінюються кінетична та потенціальна енергії і сама функція Лагранжа : - закон збереження імпульсу є наслідком однорідності простору.

Якщо виконати перетворення повороту на кут , то у випадку ізотропності простору – рівносильності усіх напрямів у ньому вектор швидкості змінить лише свої координати в новій системі координат, але сам залишиться незмінним. Тоді радіус вектор і вектор швидкості виглядатимуть так : . Функція Лагранжа, як і в попередньому випадку не зміниться, отже :

- закон збереження моменту імпульсу є наслідком ізотропності простору.

Під однорідністю часу розуіють той факт, що функція Лагранжа явно не залежить від часу.

В такому випадку : тобто узагальнена Лагранжева енергія зберігяється. Закон збереження енергії є наслідком однорідності часу.