Принцип найменшої дії Гамільтона-Остроградського.

Можна показати, що для функціонала типу , у якого значення кривої у(х) фіксовані на кінцях інтервалу умова екстремуму, тобто рівності нулю першої варіації буде - рівняння Ейлера

Принцип Даламбера-Лагранжа, який показує рівність нулю роботи сил реакцій зв’язку : .

можна розглядати, як варіацію і – го радіус вектора, що варіюється вздовж поверхні зв’язків.

Оскільки система рухається лише вздовж поверхні зв’язків,то - робота зовн. сил.

Отже :

- варіація кінетичної енергії.

Отже : оскільки початкове і кінцеве положення задані і не варіюються. Інтеграл називається інтегралом дії механічної системи.

Отже, як висновок : - дія має набувати екстремального (мінімального) значення, що є принципом Гамільтона-Остроградського.

Якщо на систему діють лише зовнішні потенціальні сили, то A = - U . U – потенціал зовн сил.

Тоді - - тоді рівняня Ейлера, про яке сказано раніше породить рівняння Лагранжа другого роду, які, таким чином, можна отримати з принципу найменшої дії.

Варіаційний принцип у фазовому проторі.

Фазовий простір – простір координат та імпульсів, у якому означена функція Гамільтона.

Варіація інтегралу дії у фазовому просторі виглядатиме так :

отже в силу незалежності варіацій координат і швидкостей має бути : - канонічні рівняння.