2.6. Потенциальная энергия

В механике тела могут обладать запасом потенциальной энергии, связанной с взаимодействием тел между собой.

Пусть в однородном поле тяготения на тело массой m действует сила mg где g ускорение свободного падения, приобретаемое в этом поле.

Если переместить тело с высоты h₁ до высоты h₂ по траектории 1 –а - 2, то работа силы mg:

А= F cos ds= -mgdh= mgh₁-mgh₂, (2.6.1)

где изменение высоты тела dh связано с перемещением ds по формуле

dh= ds cos (2.6.2)

Знак минус учитывает, что проекция ds на ось h отрицательна.

В полученном выражении работа зависит лишь от начального и конечного положений тела и не зависит от пути перемещения. Например, при перемещении частицы по траектории 1 – b - 2 будет совершена такая же работа.

Силы, обладающие таким свойством, называются консервативными, а поле этих сил потенциальным.

Из независимости работы консервативных сил от пути следует, что работа на замкнутом пути равна нулю. Действительно, совершив работу на замкнутом пути 1 – а – 2 – b - 1, получим, что работы на путях 1 – а - 2 и 2 – b - 1 равны по величине, противоположны по знаку.

В случае, когда работа сил поля не зависит от пути, а зависит лишь от начального и конечного положений частицы, каждой точке поля можно сопоставить значение некоторой функции U(x,y,z), для которой разность её значений будет определять работу сил при переходе частицы из первой точки во вторую

А= U₁- U₂ (2.6.3)

Это называется потенциальной энергией частицы в силовом поле.

Работа отклонения частицы в упругом силовом поле, например, работу, совершаемую растянутой пружиной, действующей на частицу с силой F=-kx, где k коэффициент упругости пружины, x её удлинение, знак минус показывает, что направление удлинения и силы противоположны.

А= Fdх= - kxdх= (2.6.4)

Энергия в гравитационном поле:

А= - dr= - r₁=0 (2.6.5)

Энергия частицы в упругом силовом поле

U= (2.6.6)

2.6.1.Связь энергии с консервативной силой

Рассмотрим элементарное перемещение частицы ds в силовом поле. Работа этого перемещения

dА= Fds = F_sds,

где F_s проекция силы F на направление перемещения ds.

Согласно формуле (2.6.5) эта работа равна изменению потенциальной энергии, взятой с обратным знаком

dА= -dU .

Приравнивая первые части равенств, получим:

dU= F_sds или F_s=-dU/ds (2.6.7)

выражение dU/ds называют производной от U по направлению.

Рассмотрим вектор силы F=F_xi+F_yj+ F_zk, где проекция этой силы F_x, F_y, F_z, согласно соотношению (2.6.7) найдутся по формулам

F_x= -dU/dx, F_y=-dU/dy, F_z=-dU/dz, i,j,k

Единичные вектора , направленные по осям x, y, z. Символ d/dx означает частную производную, т.е. производная потенциальной энергии по координате x вычисляется при постоянных координатах y и z. Подставляя составляющие силы, F = -I х dU/ dx-j х dU/dy-k х dU/dz., введем символический вектор

= iх d/dx-j х +d/dy+k х d/dz,

который называется оператором Гамильтона.

Градиентом скалярной функции U (x, y, z) называется вектор с компонентами dU/ dx, dU/dy, dU/dz который обозначается как gradU или U.

В связи с вышесказанным, сила будет равна градиенту потенциальной энергии частицы в данной точке, взятому со знаком «минус»:

F= -gradU=-U.

Данное соотношение позволяет определить силу F по заданной потенциальной энергии U (x, y, z).