Распределение Больцмана. Барометрическая формула.
Рассмотрим идеальный газ из одинаковых молекул, находящийся в состоянии термодинамического равновесия. Пусть Т – абсолютная температура, которая всюду постоянна. Газ находится в потенциальном поле, потенциальная энергия молекулы U(z) в котором зависит лишь от одной координаты z.
Для идеального газа справедливо уравнение состояния Клапейрона-Менделеева, которое можно записать в виде:p = nkT, (1)
где р – давление газа, n – концентрация частиц в этой точке, k –постоянная Больцмана. Поскольку газ находится в состоянии термодинамического равновесия, то наряду с постоянством температуры должно выполняться также и условие механического равновесия, то есть полная сила, действующая на любой мысленно выделенный макроскопический объем газа, равна нулю.
Рассмотрим бесконечно малый объем газа между двумя бесконечно близкими плоскостями z = const и z + dz = const. На газ в этом объеме действуют три силы: сверху вниз действует сила давления верхних слоев газа (p + dp)S, снизу вверх – сила давления нижних слоев газа pS, где S – площадь слоя. Кроме того, на этот объем действует сила со стороны потенциального поля, равная 
, где Sdz – величина объема, nSdz – число частиц в этом объеме. Эта сила направлена в сторону наибыстрейшего убывания потенциальной энергии, т.е. в нашем случае либо вверх, либо вниз. Таким образом, полная сила равна:
.
Отсюда –dp – ndU = 0. Подставляя в эту формулу уравнение состояния (1), получим –kT dn – n dU = 0, или 
. Интегрируя правую и левую часть этого выражения, получим:
,
где 
– константа интегрирования. Потенцируя это выражение, получим:
. (2)
Выражение (2) называется распределением Больцмана.
- барометрическая формула.
- распределение Больцмана.
32.