Тензор пружних сталих для кубічного кристалу та ізотропного пружного середовища.

Лінійним пружним середовищем називається таке середовище, в якому виконується закон Гука :

- тензор пружних сталих, що є тензором четвертого рангу і має 81 компоненту.

Оскільки тензори механічних напруг і деформації є симетричними, то компоненти тензора не змінюються при перестановці індексів ij та kl. Тому в загальному випадку тензор має 36 незалежних компонент.

В абсолютно пружному середовищі процеси деформації оборотні і при перестановці ij → kl компоненти мають не змінюватись, отже залишиться 21 незалежна компонента.

36 незалежних компонент

Параметри середовища кубічної симетрії інваріантні відносно поворотів на кути π , π/2 відносно їх головних осей.

Матриця повороту на π навколо осі Oz :

компоненти , як легко бачити, перетворяться за правилом .

Отже ті в яких індекси 1,2 зустрічаються один або три рази змінять знак, і в силу інваріантності даного перетворення мають дорівнювати нулю. Аналогічно при повороті навколо Ox зануляться ті, в яких один або три разу зустрічаються індекси 2 та 3

Залишаться лише : та перестановочні по ij → kl

Матриці повороту навколо Oz та Ox на кут π/2 виглядають :

В усіх 12 компонентах, що залишились індекса зустрічаються лише по два рази, тому занулення не буде, але оскільки при першому повороті індекс 2 переходить в 1 та навпаки, а при другому 3 переходить в 2 та навпаки, залишиться лише 3 незалежні компоненти :

Отже :

В ізотропному тілі осі симетрії можна обирати довільно. Нехай здійснюється поворот навколо Oz на кут φ

- матриця повороту.

можна отримати наприклад для : для інваріантності відносно повороту на довільний кут має бути зазвичай позначають

отже тепер незалежних пружних сталих буде дві :

- закон Гука для ізотропного пружного середовища