Теорема та рівняння Ліувілля.

Якщо механічна система складається з великої кількості рівноцінних частинок, то її називають фазовим ансамблем і кажуть не про окремі значення імпульсів та координат, які мають частинки системи, а про простір значень координат та імпульсів, який займають частинки.

- елемент об’єму фазового ансамблю.

Загальний об’єм дається інтегруванням по усіх значеннях координат і імпульсів,які займає ансамбль :

нехай тепер в певний момент часу система мала такий набір координат та імпульсів :

тоді

де - якобіан переходу.

Тепер оскільки початковий момент часу можна задати довільно, то момент часу в який розглядається швидкість зміни фазового об’єму можна нескінченно наблизити до початкового і похідну якобіана брати в початковий момент часу :

Використавши властивість Якобіанів , де отримується диференціюванням і-го рядка :

Отже, з вищевикладених міркувань – об’єм статистичного ансамблю не змінюється при русі – теорема Ліувілля.

Більш загальне трактування – якщо розглядати зміни координат і імпульсів не при русі, а при канонічному перетворенні. Втакому випадку Якобіан буде :

Доведення : - за правилом диференціювання складної функції.

З властивості матриці канонічного перетворення :

Це більш загльне формулювання теореми Ліувілля.

В статистичній механіці вводиться густина статистичного ансамблю : , оскільки з теореми Ліувілля для фіксованого числа частинок об’єм фазового ансамблю залишається сталою, то можна записати рівняння Ліувілля:

- основне рівняння статистичної фізики.