Алгоритм оптимального выбора числа значимых вейвлет- коэффициентов

В настоящий момент выбор числа значимых вейвлет-коэффициентов играет большую роль в процессе обработки и анализа спектрозональных изображений. Неправильный выбор требуемого числа значимых вейвлет-коэффициентов влечет за собой дополнительную работу, связанную с уточнением ошибок квантования, так как одновременно с фильтрацией зашумленного спектрозонального изображения происходит его сжатие [122].

Вейвлет-декомпозицию зашумленного спектрозонального изображения возможно определить наилучшим совпадением с выбираемым базисом и дальнейшим его рассмотрением в разных масштабах. В шум входят составляющие декомпозированного сигнала ^wξ_k , k = 1,1, не имеющие сильной корреляции ни с одним из базисов библиотеки.

При больших значениях Iсуществует вероятность для гауссовского процесса Zразмером I и с дисперсиейчто для любого ортонормированного базиса, в котором Zпредставлен через вейвлет-коэффициентывыполняется

условие [123]:

Из (2.25) следует, что величина p₁является верхней оценкой коэффициента корреляции белого гауссовского шума с любым ортонормированным вейвлет- базисом. Нахождение аналитического выражения для коэффициента нормированной корреляции этого шума с каким-либо базисом становится проблемой, если шум не гауссовский. Теоретическое значение p₁по (2.25) является также верхней оценкой для коэффициентов корреляции базисов семейства Добеши, некоторых биортогональных вейвлетов с шумами с равномерным, экспоненциальным, логнормальным, гамма- распределениями, а также их комбинаций.

Коэффициент корреляции сигнала Yс базисомв котором Y

представлен через вейвлет-коэффициенты, определяется как:

Если для сортированных вейвлет-коэффициентов справедливо следующее решающее правило

то соответствующие компоненты сигнала являются когерентными структурами по отношению к вейвлет-базисуβ, ι = 1,...,L.

При любом значении Mможно определить остаток Y_m,который вычисляется в виде разности между исходным спектрозональным сигналом и обработанным сигналом после обратного вейвлет-преобразования:

115

где Y_m- это ортогональная проекция Yна пространство размерностью I- M , W^-1- это операция вычисления обратного вейвлет-преобразования.

Остаток Y_mбудет считаться шумом, если при сравнении нормированной корреляции этого остатка с базисомс коэффициентом

справедливо неравенство:

Оценку оригинального сигнала можно произвести через сумму М когерентных структур:

Из (2.29) видно, что удаление когерентных структур похоже на грубую пороговую обработку вейвлет-коэффициентов с величиной порога:

Опишем соотношение оценки числа значимых вейвлет-коэффициентов М по когерентным структурам:

Из (2.32) и (2.33) видно, что соотношение носит итерационный характер.

В связи с вышеизложенным был разработан алгоритм оптимального выбора числа значимых вейвлет-коэффициентов, включающий в себя выполнение следующих шагов [124].

1. На первом шаге производится установка числа значимых вейвлет- коэффициентов M = I - 1.

2. Вычисление кумулятивной суммы квадратов вейвлет-коэффициентов (выражение 2.7).

3.

4. Проверка выполнения (выражение 2.33), дающее скорректированное значение числа М.

5. Проверка достижения максимума целевой функции f(M)(выражение 2.32).

6. Остановка алгоритма в случае, если максимум достигнут. Иначе переход к п. 2.

Особенностью работы алгоритма заключается его работа отдельно по каждому спектральному диапазону, что положительно сказывается на итоговом результате.

Условия алгоритма при достижении максимума целевой функции могут быть различными, например

где 3 ∕ⁿⁱ- оценка числа М, полученная на итерации с номером n, n=2, 3, ..., δ- допустимое отклонение.

Поиск максимума целевой функции может быть ускорен, если определена аппроксимация кривой спада вейвлет-коэффициентов вида, где С> 0 и

Грубая оценка числа М* может быть получена с учетом двух предположений.

В первом случае принимается во внимание тот факт, что функция стоимости определена только при положительных значениях аргумента. Тогда стартовое значение М* определяется из условия σ² = σ²_e, где значения σ' , σ²_eвычисляются через верхние оценки при разных скоростях кодирования.

На рисунке 2.15 показано изменение числа М, при котором выполняется условие