Теоретические основы фильтрации спектрозональных изображений на этапе предварительной обработки зашумленных изображений.

В данном разделе принято, что изображение Yявляется образом неизвестного оригинала X, который искажен аддитивным, нормально распределенным шумом Z с нулевым средним:

Y = X+ Z.

Фильтрацию зашумленного изображения (2.1) можно получить, используя многомасштабный анализ.

Определим операторформирующий вейвлет-коэффициенты на каждом уровне j, j=1,...,Q,т.к. вейвлет-преобразование является результатом последовательных сверток:

где- высокочастотный полосовой фильтр;- низкочастотный полосовой фильтр, весовые коэффициенты которых определяются типом вейвлета (базиса).

Определить вейвлет-декомпозицию зашумленного спектрозонального изображения при фиксированном базисе можно следующим образом:

Данное выражение будет работать при условии, что случайные переменные X и Zкомпоненты W_x = W^vj]X, W_ξ = W^vj](Z) будут независимы.

Следовательно, необходимо выполнить фильтрацию данных (2.2), кодируя (2.3) таким образом, чтобы ошибка восстановления была минимальной в смысле среднего квадрата евклидовой нормы:

где W- вейвлет-коэффициенты восстановленного после компрессии сигнала

Wнеобходимо рассматривать как оценки вейвлет-коэффициентов оригинального изображения, полученных после фильтрации зашумленных вейвлет-коэффициентов W_γ, т.к.

Так как гладкость вейвлета, компактность носителя и число нулевых моментов определяют количество значимых вейвлет-коэффициентов и энергию сигнала, оставшуюся после фильтрации, тип выбраного базиса (вейвлета) влияет

на ошибку восстановления (2.4). Поэтому задача поиска минимума среднего квадрата нормы ошибки восстановления оригиналасопровождается

задачей поиска оптимального вейвлет-базиса из некоторой библиотеки базисов.

Зашумленное изображение (2.1), подвергнутое фильтрации, представлено I дискретными отсчетами. После фильтрации остаются только Mзначимых вейвлет-коэффициентов (M 0. Дифференцировать сигнал Yможно непрерывно nраз при любом значении

Покажем, что погрешность линейной аппроксимации X сигнала Y, определяемой через вейвлет-преобразование с выбранным (фиксированным) базисом β,убывает быстрее, чем M^^2γ, если Yпринадлежит пространству Соболева W^s₂(R) [103,104].

На рисунке 2.1 представлены зависимости верхних оценок сумм квадратов значимых вейвлет-коэффициентов εσ²от числа М при разных показателях степени γ, вычисленных по следующей формуле:

Рисунок 2.1 - Зависимости верхних оценок линейной аппроксимацииот

Из рисунка 2.1 видна достаточно сильная асимптотическая сходимость оценкик верхнему пределупри больших значениях γ.Выигрывает базис при фиксированных значениях M,для которого показатель степени γбольше.

Погрешность линейной аппроксимации убывает как Mдля изображений с разрывами и ограниченной вариацией[105]. При работе с

изображениями линейная аппроксимация обычно вычисляется сохранением тольковейвлет-коэффициентов, соответствующих масштабам

Ошибка линейной аппроксимации убывает как M ^², если изображение содержит контуры объектов, которые из-за действия шума могут иметь разрывы. Это приводит к равномерным затемнениям и колебаниям Гиббса в окрестности контуров объектов [106,107].

Важно отметить, что использование первых Mвейвлет-коэффициентов при линейной аппроксимации зашумленного изображения Yне всегда бывает точной. Это связано с тем, что первые векторы вейвлет-базиса, выбранного из библиотеки базисов, могут слабо коррелировать с низкочастотными составляющими зашумленного изображения. Если для данного изображения Yвозможно подобрать показатель степени γ, то реальные оценки х будут близки к их теоретическим верхним оценкам.

Следовательно, для задачи фильтрации зашумленных изображений недостатки линейной аппроксимации, обозначенные выше, ограничивают ее применение. Более интересным представляется использование нелинейной аппроксимации зашумленного изображения Y, где появляются дополнительные возможности для пороговой обработки вейвлет-коэффициентов.

Нелинейная аппроксимация X зашумленного изображения Yвычисляется через обратное вейвлет-преобразование над первыми Mвейвлет-коэффициентами , наибольшей амплитуды:

95

Так как в каждой субполосе вейвлет-декомпозиции сохраняются мелкомасштабные коэффициенты (детали), что в итоге уточняет низкочастотную аппроксимацию, то нелинейная аппроксимация может быть интерпретирована как адаптивная решетчатая аппроксимация.

Например, погрешность нелинейной аппроксимации изображения убывает как М¹, в отличие от линейной аппроксимации, где ошибка линейной аппроксимации убывает как

Необходимо произвести сортировку всех I вейвлет-коэффициентов по амплитуде для выполнения нелинейной аппроксимации. В результате каждый коэффициент получит новый индекс, называемый рангом. Сортированные вейвлет-коэффициенты имеют быстрый спад (рисунки 2.2-2.3), данные получены с использованием среды Matlab. Тип вейвлета - CDF 9.7 (от англ. Cohen- Daubeshies-Feauveau) [110,111], три уровня декомпозиции (Q = 3).

!

Рисунок 2.2 - Кривые спада (кривые 1 и 2) сортированных вейвлет- коэффициентов для неискаженных тестовых изображений с одним базисом)

Рисунок 2.3 - Кривые спада (кривые 1 и 2) в логарифмическом масштабе

На рисунках 2.2 и 2.3 видно, что поведение кривых спада при одном базисе у изображений одного класса почти одинаково.

Для подбора количества значимых вейвлет-коэффициентов М наиболее удобно использовать аппроксимацию кривой спада, предложенную Фальзоном и Малла в [112].

Возможно подобрать такие показатели степени у, при которых ошибка аппроксимации кривой спада всех вейвлет-коэффициентов невелика при воздействии шума.

На рисунке 2.4 представлено тестовое изображение, искаженное аддитивным гауссовским шумом с интенсивностью а_ш= 30.

Рисунок 2.4 - Искаженное изображение, σ _ш= 30

На рисунке 2.5 показан подбор аппроксимации кривой спада с показателем степени γ=0,53 для изображения, представленного на рисунке 2.4.

Рисунок 2.5 - Подбор аппроксимации кривой спада с показателем степени γ=0,53ι

1 - нормированная кривая спада сортированных вейвлет-коэффициентов зашумленного изображения; 2 - ее аппроксимация

Различные кривые спада вейвлет-коэффициентов обеспечиваются различными базисами [113].

На рисунке 2.6 представлен график всех нормированных упорядоченных вейвлет-коэффициентов изображения, полученные с помощью двух типов базисов (CDF 9.7 и db4) при трех уровнях декомпозиции (Q=3).

График части нормированных упорядоченных вейвлет-коэффициентов изображения, полученные с помощью двух типов базисов (CDF 9.7 и db4) при трех уровнях декомпозиции (Q=3), показанный для лучшей наглядности, представлен на рисунке 2.7.

Рисунок 2.6 - График всех нормированных упорядоченных вейвлет- коэффициентов изображения при трех уровнях декомпозиции (Q=3):

1 - кривая спада вейвлет-коэффициентов изображения при базисе CDF 9.7;

2 - кривая спада вейвлет-коэффициентов изображения при базисе db4

Рисунок 2.7 - График части нормированных упорядоченных вейвлет- коэффициентов изображения при трех уровнях декомпозиции (Q=3y.

1 - часть кривой спада вейвлет-коэффициентов изображения при базисе CDF 9.7;

2 - часть кривой спада вейвлет-коэффициентов изображения при базисе db4

Главные отличия между кривыми проявляются в начальной области спада ранжированных вейвлет-коэффициентов. При этом кривые, которые нормированы, идут параллельно и не пересекаются.

Таким образом, нормирование упорядоченных вейвлет-коэффициентов, полученных при разных базисах, не приводит к изменению соотношений между кривыми спада в области средних и высоких частот, где и происходит отбрасывание части вейвлет-коэффициентов (нелинейная аппроксимация).

Наибольший интерес представляет верхняя оценка поведения суммы квадратов значимых вейвлет-коэффициентов при изменении числа M,которая позволяет формализовать выбор вейвлет-базиса и нелинейной аппроксимации зашумленного сигнала в нем. Полученная зависимость связывает увеличение средней суммы квадратов значимых вейвлет-коэффициентов σ²при возрастании

Нелинейная аппроксимация обеспечивает относительно гибкий механизм обработки вейвлет-коэффициентов в одном выбранном базисе. В каждом базисе существует определенное число М, обеспечивающее наилучшую аппроксимацию в смысле минимума нормы искажений. Подбором числа М вейвлет- коэффициентов осуществляется подавление шума в наблюдаемом сигнале Yв связи с тем, что отбрасываемые вейвлет-коэффициенты малой амплитуды соответствуют высокочастотным субполосам, где влияние шума проявляется наиболее сильно. Поскольку современные кодеры используют нулевую зону - увеличенный интервал квантования с центром относительно нуля, сжатие спектрозонального сигнала сопровождается отбрасыванием вейвлет- коэффициентов малой амплитуды. Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что выбор числа М обеспечивает компромисс между эффективностью шумоподавления и степенью фильтрации. Значимые вейвлет- коэффициенты, не попавшие в нулевую зону, кодируются, расходуя заданный пользователем бюджет бит R_c.

Выбор базиса и числа М значимых вейвлет-коэффициентов определяют интервал квантования и расходы, связанные с кодированием карты расположения значимых вейвлет-коэффициентов, числа М и типа базиса.

Существует два варианта кодирования и два варианта расходования полного бюджета бит R_c [114].

В случае высоких скоростей кодирования принимается гипотеза о равномерном квантовании с высоким разрешением, которое обеспечивает минимальную ошибку квантования (свыше 1 бит/отсчет, R_c>I, относительно большой бюджет бит) [115]:

где η- некоторая константа, зависящая от свойств сигнала или квантователя, - выборочная дисперсия сортированных значимых вейвлет- коэффициентов.

Выборочную дисперсию сортированных значимых вейвлет-коэффициентов можно найти следующим образом:

где- математическое ожидание значимых вейвлет-коэффициентов.

В связи с тем, что в рассмотрении участвуют вейвлет-коэффициенты низкочастотной субполосы, при нелинейной аппроксимации w_M ≠ 0. Условие W_m = 0 может быть выполнено только для высокочастотных субполос декомпозиции. Возникает сложность в подборе константы η,меняющейся при изменении параметров сигналов и изображений, особенно при действии шума.

Для того чтобы провести кодирование типа базиса требуется использование некоторого числа бит R_bиз заданной квоты R_c.Постоянный размер кода требует более чем I/2 бит в вейвлет-пакетах и локальных косинусных словарях. Однако при постоянном базисном коде оптимизация становится невыгодной. Поэтому для того, чтобы код с переменной длиной уменьшил среднее значение расхода бит R_b и слабо влиял на ошибку, следует использовать распределение вероятности описывающих базисов.

На рисунке 2.8 показано изменение теоретической дисперсии ошибки квантования в зависимости от величины М для двух смоделированных кривых спада при показателях степени γ = 0,55 и γ = 1, которое вычисляется следующим образом:

Рисунок 2.8 - Изменение теоретической дисперсии ошибки квантования

при I =20000; R_c = 2I (2 бит/отсчет); С =5000: 1 - кривая при γ =0,55; 2 - кривая

при γ = 1

Из рисунка выше видно, что дисперсия ошибки квантования при γ = 1 преобладает над дисперсией ошибки квантования при γ = 0,55. Для более наглядного понимания показана только часть графиков, чтобы в увеличенном масштабе подчеркнуть различие.

Происходит увеличение ошибки нелинейной аппроксимации в связи с уменьшением суммы квадратов значимых вейвлет-коэффициентов, вызванной увеличением значения γ.Кумулятивные суммы квадратов вейвлет-коэффициентов в зависимости от числа М при показателях степени γ = 0,55 и γ = 1 показаны на рисунке 2.9.

103

Рисунок 2.9 - Кумулятивные суммы квадратов вейвлет-коэффициентов:

1 - кривая при γ = 0,55; 2 - кривая при γ = 1

На рисунке 2.9 видно резкое нарастание кумулятивных сумм при малом числе М, то есть когда значительная часть вейвлет-коэффициентов приравнивается нулю. Такая ситуация возможна только при ограниченной квоте бит R_c ≤ I.

Изменение величиныпри разных показателях степени γ

показано на рисунке 2.10.

На рисунке 2.10 отображена ситуация, когда при выборе базисов при фиксированном значении Mвыигрывает базис с наименьшим значением γ (кривая 1 ). Также видно, что при относительно большом числе значимых вейвлет- коэффициентов (около 35 % от всего числа вейвлет-коэффициентов) достигаются положительные значения

104

Важно отметить, что фактические дисперсии ошибки квантования никогда не превосходят верхней границы. Поэтому такое соотношение сохранится и при расчете фактических дисперсий ошибки квантования, если величина σ² доминирует над величинойДля зашумленного сигнала, декомпозированного при двух разных базисах, наибольшая из двух величинсоответствует

наилучшему базису, так как величинаотражает точность оценки оригинала

(нелинейной аппроксимации).

Поскольку число М значительно уменьшается, гипотеза о равномерном квантовании с высоким разрешением отклоняется при кодировании на низких скоростях (то есть при условии R_c ≤ I). Это обозначает, что много вейвлет- коэффициентов признаются незначимыми и остаются вейвлет-коэффициенты с большими амплитудами (вейвлет-коэффициенты НЧ-субполосы), ошибка квантования которых возрастает при больших интервалах квантования. Так как кодирование карты существенности может забрать весь бюджет бит, необходимо знать, где ограничивать величину R₀во время квантовании с низким разрешением.

Бюджет бит для кодирования карты существенности представляется в следующем виде [116]:

С ростом М уменьшается квота бит для кодирования значимых вейвлет- коэффициентов, так как R = R- R- R.

На рисунке 2.11 показано, что с ростом величины М возрастает дисперсия ошибки квантования, поэтому для ее уменьшения следует ограничивать число М значимых вейвлет-коэффициентов.

Рис. 2.11 - Теоретическая дисперсия ошибки квантования при I= 20000; R_c = 0,2I (0,2 бит/отсчет); С=5000: 1 - кривая при γ = 0,55; 2 - кривая при γ = 1

Одновременно необходимо, чтобы величинабыла как можно больше для уменьшения ошибки нелинейной аппроксимации.

На рисунке 2.12 приведены графики измененияв зависимости от

числа М, который показал, что при малых значениях М (около 3,5% от всего числа вейвлет-коэффициентов) достигаются положительные значения.

106

В итоге при сравнении базисов выигрывает тот базис, который обеспечивает максимальное значениепри одном и том же значении М. Этот вывод

позволяет сказать, что данный метод существенно отличается от общепринятых рекомендаций, которые используются при квантовании неискаженного изображения при низком разрешении. Главное отличие - это то, что для шумоподавления важным является сохранение такого числа коэффициентов аппроксимации M,которое максимизирует

Основной принцип двухальтернативного отбора базиса на разных скоростях кодирования остается одним и тем же, что очевидно из вышеприведенного анализа возможностей совмещения фильтрации и квантования при кодировании зашумленного сигнала. Из двух базисов выигрывает тот, при котором больше значение величины

Все расчеты, приведенные выше, сделаны без учета кодирования названия базиса R_b.

Примененный метод нелинейной аппроксимации внешне совпадает с операцией грубой пороговой обработки вейвлет-коэффициентов, применяемой для шумоподавления:

Для поставленной выше задачи автоматически выставляется величина порога

Уменьшение коэффициентов детализации (то есть вейвлет-коэффициентов высокочастотных субполос) на величину порогапроисходит

одновременно с обращением в нуль коэффициентов, оказавшихся ниже порога, при мягкой пороговой обработке:

Окончательно средний квадрат нормы ошибки оценивания вейвлет- коэффициентов для мягкой пороговой обработки при кодировании зашумленного сигнала принимает вид:

Для того чтобы получить то же среднее квадратическое отклонение, что и при грубой пороговой обработке, необходимо увеличивать число М значимых вейвлет-коэффициентов, что показано в (2.20). Однако основной плюс мягкой пороговой обработки заключается в лучшем визуальном представлении отфильтрованного изображения. Мягкая пороговая обработка обеспечивает лучшее сглаживание сигнала в смысле выполнения условияи средний

квадрат нормы (без учета квантования) есть [117]

На рисунке 2.13 показано действие мягкой пороговой обработки, где кривая спада перемещена параллельно вниз на величинуначиная с

коэффициента.

Рисунок 2.13 - Изменение кривой спада вейвлет-коэффициентов при мягкой пороговой обработке (I= 20000, C = 5000, γ = 0,55, θ = 0,05, ε = 0,35)

Из рисунка 2.13 видно прореживание в области средних частот, а также перенос части вейвлет-коэффициентов в область высокочастотных субполос. Так как данные вейвлет-коэффициенты до обработки имели большую амплитуду и менее искажены, то их перенос в область высокочастотных субполос приводит к восстановлению деталей и сглаживанию в области средних частот.

Ошибка квантования зависит от динамического диапазона значимых вейвлет- коэффициентов. При мягкой пороговой обработке диапазон вейвлет- коэффициентов расширяется на величину порогакогда вейвлет-

коэффициенты низкочастотной субполосы не подвергаются модификации.

При обработке вейвлет-коэффициентов по функции Видаковича

также происходит уменьшение коэффициентов детализации (высокочастотных субполос), при этом средний квадрат нормы ошибки оценивания вейвлет- коэффициентов после преобразований, аналогичных для мягкой пороговой обработки, будет иметь следующий вид:

Так как последнее слагаемое в выражении 2.23 положительное, то среднее квадратическое отклонение после обработки по функции Видаковича увеличивается, но на меньшую величину по сравнению с мягкой пороговой обработкой.

При условии, если вейвлет-коэффициенты низкочастотной субполосы не подвергаются обработке, то при равномерном квантовании с высоким и низким разрешениями также происходит увеличение динамического диапазона значимых вейвлет-коэффициентов на величину

Важно учесть, что также меняется характер кривой спада сортированных вейвлет-коэффициентов при обработке по функции Видаковича, но это не сказывается на схеме выбора базиса при фиксированном числе М значимых вейвлет-коэффициентов (рисунок 2.14).

Рисунок 2.14 - Изменение кривой спада вейвлет-коэффициентов при пороговой обработке по функции Видаковича (I = 20000, C = 5000, γ = 0,55, θ = 0,05, ε = 0,35)

Однако сильно уменьшить величину дисперсии ошибки квантования, как в случае мягкой пороговой обработки не удается из-за плавности кривой спада упорядоченных вейвлет-коэффициентов после пороговой обработки по функции Видаковича.

Анализ проведенных исследований показал, что для сложноструктурированных, зашумленных и разнородных информационных потоков целесообразно на первом этапе перейти к синтезу «своих» вейвлетов, проведя оптимизацию на каждом из спектральных диапазонах с последующим их комплексированием, что обеспечивает значительное улучшение качества выходного изображения.

Одной из задач предварительной обработки каждого спектрального диапазона является подавление шумов посредством вейвлет-фильтрации, которой посвящен следующий раздел.

2.2.