ЗАДАЧА КЕПЛЕРА. ЕЛІПТИЧНИЙ РУХ ТА ЙОГО ПЕРІОДИ.
Важливим випадком центрально-симетричних полів є поля, в яких потенціальна енергія μ–частинки (або енергія взаємодії частинок з масами m
і m
в еквівалентні задачі двох тіл) обернено пропорційна r, а відповідні сили обернено пропорційні r
.
Задачу про рух μ–частинки в кулонівському полі U(r)=-α/r (або еквівалентну задачу про відносний рух в системі двох частинок m
і m, взаємодіючих між собою по тому ж закону) прийнято називати задачею Кеплера.
Ми розглянемо спочатку задачу про рух μ–частинки в кулонівському полі притягання, в якому стала α додатна. Нагадаємо, що в залежності від вигляду цієї сталої вказана задача може бути задачею небесної механіки (якщо α= Gmm) або класичним варіантом задачі про воднеподібний атом (якщо α=Ze, де Z – порядковий номер атомного ядра і e – заряд електрона).
Задача полягає в відшуканні конкретного вигляду траекторії μ–частинки і законів її взаємодії по можливих орбітах. Із виразу для її ефективного потенціалу в кулонівському полі
U
(r )=-
+ 
(1)
очевидно, що при довільному допустимому значенні повної енергії E і L ≠0 координата r може приймати мінімальне значення, яке визначається одним із виразів:
r
=-
(2)
Тому рівняння траєкторії частинки можна одержати, звертаючись до формули
Підставивши в неї U(r)=-, одержимо:
(3)
Інтеграл в правій частині рівності (3) підстановкою x=
зводиться до табличного вигляду
(4)
звідки
і, відповідно, шукане рівняння траєкторії має вигляд
(5)
де
(6)
Одержане рівняння (5) є фокальним рівнянням конічного перерізу (або кривою другого порядку), тобто це таке рівняння кривої другого порядку, коли за початок координат прийнято один із її фокусів, співпадаючий з центром поля О. При цьому сталу 
називають ексцентриситетом кривої другого порядку, а сталу p – фокальним параметром.
Одержаний розв’язок задачі повністю співпадає з якісним аналізом руху 
–частинки в слабо сингульованому полі тяжіння
U(r)=-
. Дійсно із (6) для ексцентриситету кривої другого порядку (5) очевидно, що траєкторія - частинки в кулонівському полі тяжіння U(r)=- може бути:
А) гіпербола (>1), якщо E1), якщо E1), якщо E0. Щоб знайти рівняння відповідної, потрібно знову звернутися до загальної формули
В результаті одержимо:
(17)
де параметри p і визначаються формулами (6).
Рівняння (17) показує, що траєкторією –частинки в полі (16) є гіпербола, яка проходить поряд з центром координат . Центр поля О в цьому випадку співпадає із зовнішнім фокусом гіперболи.