Формула Планка

Вывод формулы Рэлея — Джинса с классической точ­ки зрения является безупречным. Поэтому расхождение этой формулы с опытом указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представле­ниями классической статистической физики и электроди­намики.

В 1900 г. Планку удалось найти вид функции f(ω,T), в точности соответствующий опытным данным. Для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуж­дое классическим представлениям, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде от­дельных порций энергии ε (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения:

(27)

Коэффициент пропорциональности ħ получил впо­следствии название постоянной Планка. Опре­деленное из опыта значение равно:

(28)

В механике есть имеющая размерность «энергиях X время» величина, которая называется действием. Поэтому постоянную Планка иногда называют кван­том действия. Заметим, что размерность ħ совпа­дает с размерностью момента импульса.

Если излучение испускается порциями ħω, то его энер­гия ε_n должна быть кратной этой величине:

(29)

Согласно закону Больцмана вероятность Р_п того, что энергия излучения имеет величину е_п, определяется вы­ражением:

(30)

Нормировочный множитель А можно найти, исходя из условия, что сумма всех Р_п должна быть равна единице. Действительно, сумма Р_п представляет собой вероят­ность того, что энергия имеет одно из возможных для нее значений.

,

откуда

.

Подставив найденное значение А в формулу (53.4), по­лучим:

.

Предположим, что мы имеем возможность измерить значение энергии данной спектральной составляющей излучения в любой момент времени. Произведем через равные промежутки времени Δt очень большое число таких измерений N. Разделив сумму полученных значе­ний на число измерений N, мы найдем среднее по врег мени значение энергии . При очень большом N количе­ство измерений N_n, которые дадут результат ε_п, будет равно NP_n. Поэтому

(31)

Таким образом, среднее значение энергии излучения частоты со определяется следующим выражением:

(32)

Чтобы произвести вычисления, обозначим bw/kT = х и допустим, что величина х может изменяться, прини­мая непрерывный ряд значений. Тогда выражение для ё можно записать в виде:

(33)

Выражение, стоящее под знаком логарифма, пред­ставляет собой сумму членов бесконечной геометриче­ской прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем прогрессии, равным е^-x. Так как знамена­тель меньше единицы, прогрессия будет убывающей, и по известной из алгебры формуле

.

Подставив это значение суммы в (53.7) и выполнив диф­ференцирование, получим:

.

Наконец, заменив х его значением ħω/kT, получим окон­чательное выражение для средней энергии излучения ча­стоты ω:

(34)

Заметим, что при ħ, стремящемся к нулю, формула (26) переходит в классическое выражение . В этом можно убедиться, положив , что выполняется тем точнее, чем меньше ħ. Таким обра­зом, если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, ее среднее значение было бы равно kT.

Заменив в формуле Рэлея — Джинса kT выражением (34), получим формулу, найденную Планком:

(35)

Эта формула, как уже отмечалось, точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале ча­стот от 0 до ∞. Она удовлетворяет критерию Вина (26). При условии, что ħω/kT