Функция Гамильтона и канонические уравнения Гамильтона.
В ряде задач удобным является метод, в котором в качестве независимых переменных, задающих положения системы, берутся обобщенный координаты и обобщенные импульсы (метод Гамильтона, приводящий к 2s уравнениям 1ого порядка).
Переход от одного набора переменных 
и 
к другому и 
с помощью преобразования Лежандра. Рассмотрим мех. систему с голономными связями и запишем полный дифференциал ее функции Лагранжа 
. Учтем, что 
и перепишем дифференциал 
. Второй член запишем в виде 
. Подставив это в дифференциал, перенеся полный дифференциал из лева вправо и сменив все знаки, получим 
.
То, что у нас получилось слева, это есть преобразование Лежандра, которое позволяет перейти к функции 
Это и есть функция Гамильтона. Найдя дифференциал Гамильтона 
следует система уравнений для q и p 
, которая называется каноническими преобразованиями Гамильтона.
. Полная производная функции Гамильтона по времени равна 
. Подставим сюда полученные уравнения Гамильтона, вместо р и q. Получим, что 
. Функция Гамильтона замкнутых голономных систем не зависит от времени явно, значит 
. Пришли к закону сохранения, в этом случае функция Гамильтона есть интеграл движения. Она совпадает с обобщенной энергией системы, выраженной через импульсы и координаты (в консервативных системах, равно полной энергии механической). Функция Гамильтона в разных СК. Декартова 
Цилиндрическая 
Сферическая. 
Еще по теме Функция Гамильтона и канонические уравнения Гамильтона.:
- Канонические уравнения Гамильтона как следствие принципа наименьшего действия.
- Функция Гамильтона и канонические уравнения Гамильтона.
- Канонические преобразования.